Thermally induced low-frequency oscillations

Summary This paper discusses nonlinear thermally induced oscillations in quasi-one dimensional flows in ducts. In practice such oscillations are frequently observed in furnaces and combustion chambers. The problem considered involves entropy disturbances which are convected through a nozzle at the end of a tube, thereby producing an acoustic wave which propagates upstream and leads to a modulation of the mass flow at the inlet of the tube. Alternatively, if the rate of heat addition (i. e. the rate of fuel addition in the case of a combustion chamber) responds only weakly or not at all to the oscillating pressure at the inlet, the modulated air flow produces an entropy oscillation (due to the oscillating equivalence ratio in the case of a combustor) downstream of the zone of heat addition (reaction zone). To obtain general stability limits for this kind of self-induced oscillation, a second-order analysis is developed which leads to a nonlinear wave equation. The convection of entropy disturbances introduces nonlinear memory effects which are responsible for a non-local character of the wave equation. The wave equation is solved with the help of a numerical evolution scheme, making use of a suitable scaling transformation which does not change the form of the equation.

---

Zusammenfassung Es werden nichtlineare thermisch getriebene Schwingungen in quasieindimensionalen Rohren untersucht. In der Praxis kann dieser Schwingungstyp häufig in Feuerungsanlagen und Brennkammern beobachtet werden. Die betrachteten Schwingungen werden von Entropiestörungen angetrieben, welche die Austrittsdüse eines Rohres durchqueren und dabei Schall erzeugen. Eine der erzeugten Schallwellen läuft stromaufwärts und verursacht eine Massenstrommodulation am Eintritt des Rohres. Falls die Wärmezufuhrrate (Brennstoffzufuhrrate in einer Brennkammer) nur schwach oder gar nicht auf Druckschwankungen am Eintritt reagiert, dann verursacht die Luftmassenstromschwankung eine Entropieschwankung (aufgrund des schwankenden Brennstoff/LuftVerhältnisses) am Ende der Zone (Reaktionszone), in welcher Wärme zugeführt wird. Um allgemeine Stabilitätsgrenzen für solche selbsterregten Schwingungen zu ermitteln, wird eine Theorie zweiter Ordnung entwickelt, die zu einer nichtlinearen Wellengleichung führt. Die Konvektion von Entropiestörungen führt zu nichtlinearen Gedächtniseffekten, die für den nicht-lokalen Charakter der Wellengleichung verantworlich sind. Die Gleichung wird mit Hilfe eines numerischen Evolutionsschemas gelöst, wobei von einer Skalierungstransformation Gebrauch gemacht wird, welche die Form der Gleichung nicht verändert.

     

Damped and thermally driven acoustic oscillations in wide and narrow tubes

Zusammenfassung Die Theorie von Kirchhoff für gedämpfte Schwingungen in langen Rohren und die darauf aufgebaute Theorie von Kramers für thermisch getriebene akustische Oszillationen wird neu hergeleitet, wobei die sogenannte Grenzschichtvereinfachung zunächst nicht benötigt wird. Es zeigt sich, dass für Helium eine in der Kramersschen Theorie auftretende Konstante fast genau verschwindet; dies hat zur Folge, dass für thermische Schwingungen in Helium eine Grenzschichttheorie erster Ordnung versagt. Durch Hinzunahme von Gleidern, die vom Grenzschichtstandpunkt als Grössen zweiter Ordnung erscheinen, wird die Theorie thermisch getriebener Oszillationen für Helium in Übereinstimmung mit der Erfahrung gebracht.     

Steady state oscillations in a buoyant fluid

In this article we consider small steady forced oscillations induced by immersed bodies moving at frequencies above the buoyancy frequency in stratified fluids. The model we treat takes the buoyancy frequency and the density to be constant, and consequently the governing differential equation is the same as for small steady oscillations in a uniformly rotating fluid.Our treatment of this problem has several aspects. The first is the formulation and transformation of the problem for quite arbitrary bodies and general boundary motions. The second is the solution of a number of simple problems in two and three dimensions. The solutions are given explicitly and in some detail and their limiting behavior for high frequency and at the buoyancy frequency is derived. This leads to some new observations and to a conjecture about the velocity field at the buoyancy frequency. We also give sequences of graphs of streamlines of some of the examples. These show in a striking way the changes in the flow field as the frequency varies.

---

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit behandeln wir kleine Schwingungen, die durch bewegte Körper in geschichteten Flüssigkeiten erzwungen werden. Die Schwingungsfrequenzen liegen oberhalb der Auftriebsfrequenz. In unserem Modell werden Auftriebsfrequenz und Dichte als konstant vorausgesetzt. Somit wird die massgebliche Differentialgleichung hier identisch mit derjenigen für kleine Schwingungen in einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit.Wir betrachten das Problem unter verschiedenen Gesichtspunkten: Zunächst wird das Problem für willkürlich gestaltete Körper und allgemeine Randbedingungen bezüglich der Bewegungen formuliert, Sodann werden explizite Lösungen für eine Reihe von einfachen zwei- und dreidimensionalen Problemen in Einzelheiten angegeben. Ihr Grenzverhalten bei hohen Frequenzen und für die Auftriebsfrequenz wird abgeleitet. Dies führt zu einigen neuen Beobachtungen und Vermutungen über das Geschwindigkeitsfeld für die Auftriebsfrequenz. In einigen Fällen fügen wir eine Folge graphischer Darstellungen der Stromlinien bei. Diese zeigen sehr eindrucksvoll, wie sich das Strömungsfeld mit der Frequenz ändert.

---

---

This work supported by the Department of the Navy, Naval Sea Systems Command under Contract No. N00017-72-4401.     

A remark on the sloshing frequencies for a half-space

Summary The known sloshing frequencies of an incompressible and inviscid fluid in a half-space with circular or strip-like aperture are investigated in some detail, based on previous results [4]. The first two terms in the asymptotic expansion for large eigenvalues are determined and a conjecture is enunciated for the general structure of the next term. The asymptotic results are listed in Table 1 and compared with the known frequencies.Furthermore, the sum of the reciprocal squares of the eigenvalues is computed numerically for each symmetry class; the results suggest a conjecture about the exact value of these sums.

---

Zusammenfassung Es werden die bekannten Eigenfrequenzen der Schwingungen einer idealen Flüssigkeit in einem Halbraum mit kreisförmiger oder streifenförmiger freier Oberfläche näher untersucht (siehe [4]). Die zwei ersten Glieder in der asymptotischen Entwicklung der Eigenfrequenzen werden hergeleitet und eine Vermutung über das nächste Glied aufgestellt (Abschnitt 2, 3). Die asymptotischen Ergebnisse werden mit den bekannten Frequenzen in Tabelle 1 verglichen.Für die verschiedenen Symmetrieklassen der Schwingungen werden die reziproken Quadratsummen der Eigenwerte numerisch bestimmt und eine Vermutung über den Wert dieser Ausdrücke ausgesprochen (Abschnitt 4).

---

---

This research was supported by the National Science Foundation under Grant GP-22587.     

Analysis of the oscillations of the Timoshenko beam

Zusammenfassung Die Schwingungen des Timoshenko-Trägers werden mit Hilfe sich ergänzender Variationsprinzipien analysiert. Es werden Rayleigh-Quotienten, die auf den beiden Prinzipien basieren, für die Eigenfrequenzen angegeben. Sodann werden duale Träger mit konstanten Querschnittpaaren definiert und die Beziehungen zwischen den Eigenfrequenzen und Schwingungsformen der dualen Träger diskutiert.     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.     

An isoperimetric problem with a nonlinear side condition for sloshing in a symmetric shallow canal

Summary The eigenfrequencies of the oscillations of an ideal liquid in a symmetric, shallow canal are investigated. The shape of the cross section is determined, for which thenth eigenfrequency becomes as large as possible, when the width and the wetted are length of the canal cross section are prescribed. This variational problem leads to a nonlinear eigenvalue problem for two functions. The problem is solved numerically, and, in addition, upper and lower bounds for the maximal eigenvalues are reported.

---

Zusammenfassung Die Eigenfrequenzen der Schwingungen einer idealen Flüssigkeit in einem symmetrischen, untiefen Kanal werden untersucht. Es wird die Form desjenigen Querschnittes bestimmt, für den dien-te Eigenfrequenz möglichst gross wird, wenn die Breite und die benetzte Bogenlänge des Kanalquerschnittes vorgeschrieben werden. Dieses Variationsproblem führt auf ein nichtlineares Eigenwertproblem für zwei Funktionen. Das Problem wird numerisch gelöst, und ausserdem werden obere und untere Schranken für die maximalen Eigenwerte angegeben.

     

Non-linear self-excited acoustic oscillations

Summary The response of a gas column contained in a tube to a destabilizing boundary condition is investigated. For the special case where the particle velocity at an end wall of the tube is proportional to the pressure disturbance, a non-linear analysis is given for closed and open tubes (with and without mean flow). The inviscid solutions for closed tubes are sawtooth waves, for open tubes without mean flow they turn out to be essentially square waves and for open tubes with mean flow the tops and bottoms of the square waves become ramp-like.The analysis given may be regarded as a guideline for the investigation of certain types of combustion instabilities.

---

Zusammenfassung Betrachtet werden nichtlineare Schwingungen in einem mit Gas gefüllten Rohr, die durch eine destabilisierende Randbedingung angetrieben werden. Für den Spezialfall der Proportionalität der Teilchengeschwindigkeit an einer Endwand des Rohres zur Druckstörung wird eine nichtlineare Analysis für geschlossene und offene Rohre (mit und ohne Durchströmung) angegeben. Die reibungsfreien Lösungen für geschlossene Rohre sind sägezahnförmige Wellen, für undurchströmte offene Rohre findet man im wesentlichen rechteckförmige Wellen und für durchströmte offene Rohre gehen die Rechteckwellen in trapezförmige Wellen über. Die gezeigte Analysis soll als Leitlinie zur Untersuchung bestimmter Typen von Verbrennungsinstabilitäten dienen.

     

Toroidal oscillations of a spherical mass of viscous conducting fluid in a uniform magnetic field

Zusammenfassung Es werden die toroidalen Schwingungen einer flüssigen Kugel in einem konstanten Magnetfeld betrachtet. Nach [2] ist bekannt, dass das Spektrum der Eigenwerte für vollkommen leitende Flüssigkeit kontinuierlich ist. Hier wird aufgezeigt, dass für endliche Leitfähigkeit ein diskretes Spektrum entsteht und dass der diskrete Charakter erhalten bleibt, wenn die Leitfähigkeit nach Unendlich strebt. In diesem Grenzfall konzentriert sich die Schwingung auf die Symmetrieachse.     

Excitation of waves and mean currents in a stratified fluid due to a moving heat source

Zusammenfassung Wenn eine Wärmequelle, z. B. eine Flamme, unter einer Schicht homogener Flüssigkeit bewegt wird, so kann eine mittlere Geschwindigkeit in der Flüssigkeit verursacht werden, und zwar entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Flamme.Hier wird eine geschichtete Flüssigkeit betrachtet. Besondere Aufmerksamkeit wird den Verhältnissen gewidmet, bei denen Wellen in Resonanz entstehen. Die mittlere Geschwindigkeit wird dann von den Wellen beherrscht und hat im Wesentlichen die gleiche Richtung wie die Bewegung der Wärmequelle. Die Möglichkeit einer Strahlstruktur der Bewegung ist vorhanden.     

Über nichtlineare Schwingungen sphärisch schwingender Gasblasen in Flüssigkeiten unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Fluides

Zusammenfassung Es werden nichtlineare erzwungene Schwingungen einer Gasblase in einer kompressiblen Flüssigkeit untersucht. Die von Herring hergeleitete Differentialgleichung wird für die erzwungene Schwingung ergänzt und numerisch gelöst. Die Ergebnisse werden mit dem RPNNP-Modell, welches die Flüssigkeit als inkompressibel voraussetzt, verglichen. Es werden für die erzwungene Schwingung Resonanzkurven berechnet. Die Ergebnisse zeigen, daß die Kompressibilität mit berücksichtigt werden muß.

---

Summary The nonlinear forced vibrations of a gas-bubble in a compressible liquid are investigated. The differential equation given by Herring for the case of the forced vibrations is completed and solved numerically. The results are compared with the known incompressible RPNNP-model. The resonance curves under forced vibrations are calculated. The results have shown that the fluid compressibility must be taken into consideration.

     

Thermally driven acoustic oscillations,part III: Second-order heat flux

Summary The second-order heat flux in thermally driven oscillations of gas columns is calculated and given in a form suitable for numerical evaluation. Order-of-magnitude estimates are made in the case of steep temperature gradients.

---

Zusammenfassung Der Wärmestrom zweiter Ordnung, der in thermisch getriebenen akustischen Schwingungen einer Gassäule entsteht, wurde berechnet und ist in einer für numerische Rechnungen geeigneten Form angegeben worden. Die Grössenordnung des Effektes wurde für steile Temperaturgradienten abgeschätzt.

     

Time dependent neutron transport theory in multigroup-P L-approximation

Summary A method is developed for solving the time dependent neutron transport equation in multigroupP _L approximation for one-dimensional geometries. The partial differential equations in time and space are solved by means of a power series expansion in the spatial variable. The resulting ordinary differential equations are solved up to theNth order, and the last spatial coefficients are used to satisfy the boundary conditions. Integration of the purely time dependent differential equations is carried out by means of Lie series.Numerical oscillations, appearing for high ordersN, are avoided by subdividing each zone into smaller subzones. Even and odd spatial moments must be developed in opposite directions in each subzone, and the stationary solution representing the initial condition for the time dependent calculation must be developed in the same manner.Results of two calculations in spherical geometry are presented. One is the start-up of a small experimental reactor usingP ₃ theory, the other is a demonstration of neutron waves inP ₁ theory.

---

Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Lösung der zeitabhängigen Neutronentransportgleichung in der Multigruppen-P _L-Näherung für eindimensionale Geometrien entwickelt. Für die Lösung der partiellen Differentialgleichungen in Ort und Zeit wird eine Potenzreihe im Ort angesetzt. Das sich ergebende gewöhnliche Differentialgleichungssystem wird bis zu einer gewählten OrdnungN erfüllt, und die letzten Koeffizienten der Ortsentwicklungen dienen zur Befriedigung der Randbedingungen. Die Integration in der Zeit erfolgt dann mit der Lie-Reihen-Methode.Zur Vermeidung der Oszillationen, die bei hohen OrdnungenN auftreten, werden die einzelnen Zonen in kleinere Abschnitte unterteilt. Die geraden und ungeraden Momente müssen in den Abschnitten in entgegengesetzter Richtung entwickelt werden. Die stationäre Lösung, die als Anfangsbedingung für die zeitabhängige Rechnung dient, muss mit demselben Entwicklungsschema ermittelt werden.Die Methode wird angewendet zur Lösung derP ₁- undP ₃-Gleichungen in sphärischen Reaktoren. Zwei Beispiele werden damit berechnet: Das Anfahren eines kleinen Versuchsreaktors inP ₃-Näherung und die Nachweisung von Neutronenwellen inP ₁-Theorie.

     

An oscillating plate in a binary mixture of hemihedral fluids

Summary The sinusoidal oscillations of an infinite plate in a mixture of two incompressible Newtonian hemihedral fluids are investigated. The solution is compared with the previously derived corresponding one for holohedral fluids.

---

Zusammenfassung Es werden die sinusförmigen Schwingungen einer unendlichen Platte in einer Mischung von zwei inkompressiblen Newtonschen hemiedrischen Flüssigkeiten untersucht. Die Lösung wird mit der früher erhaltenen entsprechenden Lösung für holoedrische Flüssigkeiten verglichen.

     

Thermally driven acoustic oscillations. Part II: Stability limit for helium

Summary The stability limits for thermally driven acoustic oscillations in a helium-filled tube are given. Calculations are partly based on a step-by-step integration of the differential equation for the acoustic pressure, but most results refer to a model using a discontinuous temperature distribution; in the latter case a transcendental stability-frequency equation has been numerically solved. Results are presented in the form of critical temperature ratios versus a parameter representing the ratio between the tube radius and the extent of the viscous flow region. Several asymptotic limits of the stability curves are analytically treated. Finally, limitations of the theory are discussed which occur when the solid tube wall specific heats become vanishingly small at the cold end.

---

Zusammenfassung Die Stabilitätsgrenze von thermisch getriebenen akustischen Schwingungen von Helium in einem Rohr wird angegeben. Rechnungen beruhen zum Teil auf der schrittweisen Integration der Differentialgleichung für den akustischen Druck, doch wurden die meisten Resultate für ein Modell mit einem Temperatursprung erhalten; in diesem Falle wurde eine transzendente Stabilitäts-Frequenz-Gleichung numerisch gelöst. Resultate geben ein kritisches Temperaturverhältnis über einen Parameter, welches das Verhältnis von Rohr-Radius zur Größe der Reibungsschicht der Strömung gibt. Verschiedene Asymptoten der Stabilitätskurve werden analytisch behandelt. Schliesslich werden die Begrenzungen der Theorie diskutiert, die durch die verschwindend kleine spezifische Wärme der Rohrwand am kalten Ende bedingt sind.

     

Lateral oscillations of a valve connected to a pipe. Part IV,Experiments

Summary Oscillations of a valve connected to a pipe with a concentric core were investigated theoretically in [3]. Amplified lateral oscillations of the valve were predicted and it was suggested that a gap between the valve and the core would eliminate the oscillations.This suggestion is tested experimentally in the present investigation. To reduce the number of assumptions as much as possible, a plane geometry was chosen. It reduces the annular geometry of the pipe with the core to two independent ducts with rectangular cross sections.As predicted by theory, violent oscillations occured without gap. For pressure drops in the valve inlet above 600 Pa, mechanical damage of the valve had to be expected and experiments were difficult to conduct.No oscillations were observed for gaps with adequate lengths. The critical gap length was well predicted by theory and the measured amplifications and dampings were somewhat below the predictions. This is probably caused by neglecting viscous effects in the theory.

---

Zusammenfassung Das Schwingungsverhalten von einem Ventil, das an ein Rohr mit konzentrischem Zentralkörper angeschlossen ist, wurde in [3] theoretisch untersucht. Es wurde gezeigt, daß häufig angefachte Querschwingungen zu erwarten sind. Es wurde auch vorgeschlagen, daß ein Spalt zwischen Ventilkörper und Zentralkörper die Schwingungen eliminieren sollte.In der vorliegenden Arbeit wird dieser Vorschlag mit Experimenten geprüft. Um möglichst wenig Annahmen einführen zu müssen, wurde eine ebene Konfiguration gewählt. Das konzentrische Rohr wird dabei zu zwei unabhängigen Kanälen mit rechteckigen Querschnitten.Ohne Spalt traten die erwarteten Schwingungen auf. Sie waren so heftig, daß für Druckdifferenzen im Ventileinlauf über 600 Pa die Messungen schwierig wurden, da Beschädigungen des Ventils erwartet werden mußten.Wurde dagegen ein Spalt mit genügender Länge angebracht, so waren die Schwingungen gedämpft. Der Übergang von Anfachung auf Dämpfung wurde von der Theorie gut vorausgesagt. Die Größe von Anfachung und Dämpfung wurde dagegen von der Theorie etwas überschätzt, was wahrscheinlich auf die Vernachlässigung der Reibung in der Theorie zurückzuführen ist.

     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part I: The determination of exact solutions for any values of the ratio of radii and separation parameters

Zusammenfassung Für die Probleme der langsamen zähen Flüssigkeitsbewegung, die durch die Bewegung von zwei sphärischen Begrenzungen verursacht warden, sind exakte Lösungen angegeben worden. Die Bewegung der Kugeln kann entweder eine Translation entlang oder eine Rotation um die Achse sein, welche senkrecht zur Verbindungslinie der Mittelpunkte geht. Die Kugeln können sich ausserhalb von einander in einer unbegrenzten Flüssigkeit befinden, oder die Flüssigkeit kann zwischen zwei exzentrischen Kugeln eingeschlossen sein. Die Theorie ist anwendbar für alle Werte der Radienverhältnisse (k) und der minimalen Distanz () zwischen den Kugeln.     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.     

Critical reynolds numbers for flows containing particles

Zusammenfassung Die Bedingungen, unter denen in der Strömung vorhandene Teilchen die kritische Reynoldszahl beeinflussen, wurden untersucht. Die Teilchen werden in laminarer Strömung instabil, wenn der vertikale Geschwindigkeitsgradient eine bestimmte Relation zum Teilchenradius bekommt. Dies ist dann der Fall, wenn der Teilchenradius ungefähr die Grössenordnung des Prandtlschen Mischungsweges oder der kleinsten Turbulenzelemente annimmt. Dies gilt für den Fall, dass Flüssigkeit und Teilchen gleiche Dichte haben. Bei ungleicher Dichte werden die Ergebnisse entsprechend modifiziert.