数学奥林匹克讲与练(18)

例题讲解１３７．在一条公共汽车的线路上有１４个车站（其中包括起点站和终点站）,一辆汽车限载２５名乘客．求证：公共汽车在从起点到终点的运行时间内：（ｉ）一定存在８个车站Ａ１、Ｂ１;Ａ２、Ｂ２;Ａ３、Ｂ３;Ａ４、Ｂ４,使对所有的ｋ＝１,２,３,４,没有任何一个乘客是从Ａｋ乘车到Ｂｋ．（ｉｉ）有可能不存在１０个车站Ａ１、Ｂ１;…;Ａ５、Ｂ５具有类似的性质．（乘客从Ａ乘车到Ｂ,系指他在Ａ站上车而在Ｂ站下车）证明　先证明以下引理：“在一个由４９个１×１的小方格组成的７×７的正方形中任意标记出２４个小方格,…     

数学奥林匹克讲与练(25)

例题讲解193.用数字“1”、“2”组成5个n位数,使每两个n位数都恰有m个数位上的数字一致,但不允许在同一数位上5个n位数的数字都相同.求证:25≤mn≤35.证明　将这5个n位数在同一数位上的数字组成数对.每个数位有5个数字,可以组成C25=10个数对,n个数位共组成10n个数对.考察其中由不同的数字组成的数对(即数对(1,2)).由于同一数位上的5个数字不都相同,故在其组成的数对中,(1,2)的个数不少于C11C14=4个,不多于C12C13=6个,因而在10n个数对中,数对(1,2)不少于4n个,不多于6n个;另一方面,因为每两个n位数恰有m个数位上的数字相同,故恰有(n-m)个数位上的数字不同,由它们组成的数对即数对(1,2),故每两个数可产生(n-m)个数对(1,2),而5个数共产生C25.(n-m)=10(m-n)个这样的数对.综上所述,我们得到4n≤10(n-m)≤6n,解之即得　　25≤mn≤35.194.8人进行象棋循环赛,每赛一局,胜者得1分,败者得0分,平局时比赛双方各得0.5分.结果发现每人的得分均不相同,且第二名的得分恰等于后四名的得分的总和,问在第三名与第七名的比赛中谁获胜.解　...     

数学奥林匹克讲与练(Ⅱ)

例题讲解9．设n、k为自然数，k＜n．求作集合A_1，A_2，…，A_n，使其中任意k个集合之交非空，而任意（k＋1）个集会之交为空集，并使并集A中含元素最少．解1）设则对任意的，而对任意的，这时且A中恰含C_n个元素．2）设有n个集合B_1，B_2，…，B_n，其中任k个集合之交非空而任（k＋1）个集合之交为空集．对某个成，B_j，从其余的（n－1）个集合中任取（k－1）个与B_j之交非空，故此交中至少含有一个元素；因为从（n－1）个集合中取（k－1）个集合的方式有C_n种，故此可得B_j的个元素；又因为B_1，…，B_n中任意（k＋1）个集合之交必…     

数学奥林匹克讲与练(V)

例题讲解33考察由数字0和1组成的有序组，我们称之为"元"；元中所含数字（0和1）的个数称为元的长度．由若干元组成的集合A称为基本的：若任意一个由0和1组成的无穷序列中总存在一段（即存在若干相邻的项），此段恰是A中的一元．求证可选出不多于n个长度为8的元，它们组成的集合是基本的证明我们先取定51个长度为8的元，然后证明由它们组成的集合是基本的取a1＝11111111，a2＝00000000，a3＝10101010；又取b1＝100βi，其中βi历尽长度为5的元，共有25＝32个，故1≤i≤32；再取cj＝1101rj，其中rj历尽长度为4的元，共有24＝16个，故1≤j≤1…     

数学奥林匹克讲与练(22)

例题讲解１６９．ｎ个不同的实数组成一个递增序列写在第１行．将此序列的各项重排后写在第１行的下面,使各项依次对齐,作为第２行．再将这两行的各项分别相加,得到的ｎ个和数写下作为第３行．结果发现第３行的数也排成了递增的序列．求证：第１行与第２行的序列完全一致．证明　设第１行为ａ１＜ａ２＜…＜ａｍ＜ａｍ＋１＜…＜ａｎ,第２行为ｂ１,ｂ２,…,ｂｎ,它是ａ１,…,ａｎ的重排,则第３行为ａ１＋ｂ１＜ａ２＋ｂ２＜…＜ａｎ＋ｂｎ．若ａ１≠ｂ１,则有ａ１＝ｂｍ（２≤ｍ≤ｎ）．于是对每个ｉ：１≤ｉ≤ｍ－１,ａ１＋ｂ…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅰ)

编者按：从本期开始，本刊每期辟专栏连载“数学奥林匹克讲与练”，刊登国内、外数学竟赛优秀试题．每期详细讲解4个例题，并附4个习题．习题于次期给出扼要的解答．所有例习题题型新颖、典型，富有启发性．我们希望这个专栏能为有志于数学奥林匹克的广大学生和教练员提供一份学习和培训的好资料，并成为其良师益友．例题讲解1．一组水平线和一组竖直线将平面分成｜x｜的正方形小方格，一只象棋“马”处于一个格点（即小正方形的顶点）且按下面的规则运动：每走一步，马可以由小方格组成的一个Pxq的矩形的一条对角线的一个端点跳到另一端点…     

数学奥林匹克讲与练(11)

例题讲解８１．能否将长方形方格纸的每个格子着上黑色或白色,使黑色和白色的格子各占一半,而每行及每列中同色的格子多于３４？解不能．证明如下．若一行中黑色（白色）的格子占多数,则称之为黑（白）行,黑列（白列）的意义类似于此．设此表格的大小为ｍ×ｎ,其中有...     

数学奥林匹克讲与练(16)

例题讲解１２１．将２ｎ－１个由０和１组成的、长度为ｎ的序列排成一个２ｎ－１行、ｎ列的数表．已知此表的任意３行中都存在一列,这３行处于此列的３个数同为１,并且这些序列两两互不相同．求证：这个数表中存在唯一的一列,这列中的每个数都等于１．证明设ｘ＝（ｘｉ...     

数学奥林匹克讲与练(28)

例题讲解2 1 7.以 Sn 表示前 n个质数之和 :S1=2 ,S2 =2 3=5 ,S3=2 3 5 =1 0 ,…求证 :对每个自然数 n,在 Sn 和 Sn 1之间必有一个完全平方数 .证明　因为任意两个奇质数之差不小于2 ,故我们只需证明下面更一般的命题 :“设数列 {an}满足 :a1=2 ,a2 =3,an 1- an ≥ 2(n =2     

数学奥林匹克讲与练(Ⅷ)

例题讲解57．求正整数k，使其满足（a）、（b）两个条件：（。）对任意正整数n，不存在j，0＜j＜n—kMI，使数列C；，C；”，…，Q”‘－’为等差数列．（b）对某些正整数n，存在j，0＜j＜。一kM2，使数列C：，C：”’，…，C：“‘’为等差数列．解试讨论对于怎样的n及k，C士，C二，Cf”’恰成等差数列．欲CS’、C二、CY‘成等差数yu，应有于是（n＋2）应为完全平方，设为u’（u＞0），则卜一Zki—u，n一u‘一2（2）又由C：随厂变化的规律，可设由上面的结果可知，仅对形如（u’一2）（u＞3）的自然数n，当j一会（u‘一u一2）一1时…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅸ)

例题讲解65．设O是凸多边形A1A2…An内部的一点，已知O与凸多边形的任意两个顶点构成等腰三角形，求证:O对到凸多边形每个顶点的距离均相等．证明只要证明O到任意两个相邻顶点的距离都相等，不妨考察顶点A1、A2，我们证明OA1＝OA2，注意在等腰三角形中若有一角为钝角或直角，则央这角的两边是等腰三角形的两腰．由已知，△OA1A2是等腰三角形，若A1OA2≥90°，则有OA1＝OA2；若△A1OA2＜90°，我们过O点作l1OA1，l2OA2，则l1、l2相交于O且将平面划分为四部分（图1）．若在③中有凸多边形的顶点Ak，则易知A1OAk、A2OAk均不小…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅵ)

例题讲解41有1998个数字顺次排在一个圆周上，如果从某一位开始依顺时针方向顺次写下这1998个数字，则得到一个数，已知此数能被27整除，试证明：从任何一个数字开始顺时针方向写下这1998个数字，所得的数恒为27的倍数证明设从某位开始依顺时针方向写下这1998个数字所得的数为alazas…al000al，coal00s．因为103k三1（＊he27）10‘1‘’一ic（tikki27）（2）m31＋2—19（rTaxZ测因而对于写下的数有19（a＋a。4··＋alwi）＋IO（＆z＋as＋…4al。。，）＋（a。＋a．0＋…＋al。s乍b（’ined27）（3）即19x＋10y4＃。Othe27）（4）其中i一…     

数学奥林匹克讲与练(30)

例题讲解2 33.欧洲及世界排球冠军赛同时举行 ,共有 n个队参赛 ,其中有 k个欧洲队 .比赛只赛一轮 (即每两队之间只赛一场 ) ,以其中欧洲队之间相互比赛的成绩作为产生欧洲冠军队的依据 .结果发现 :欧洲冠军队在欧洲冠军赛中的得分严格地最多 (即比其它每个欧洲队在欧洲冠军赛中     

数学奥林匹克讲与练(12)

例题讲解８９．求证：可以用互不相似的三角形来覆盖全平面．证明　将平面划分为边长为１的正方形方格,并从某个正方形开始依顺时针方向给所有正方形编号（图１（ａ））,得到正方形序列｛Ｑｋ：ｋ≥１｝,它们覆盖全平面．１７１８１９２０２１１６５６７２２１５４１８２３１４３２９２４１３１２１１１０２５２８２７２６（ａ）（ｂ）　　　　　　　　　　（ｃ）图１取定实数列：ａ１＝１３,ａ２＝２３,ａ３＝２５,ａ４＝３５,…,ａ２ｋ－１＝ｋ２ｋ＋１,ａ２ｋ＝ｋ＋１２ｋ＋１,…,易见０＜ａ１＜ａ３＜…＜ａ２ｋ－１＜１２＜…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅶ)

例题讲解49．来证：在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，互不全等的三角形的数目等于与最接近的整数．证明在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，设有N1种不同的正三角形，N2种不同的非正等腰三角形，N3种不等边三角形，则N1=1或0（视n是否3的倍数而定）（1）（视n的奇偶性而定）（2）易知每个正三角形与1个含固定顶点A的正三角形全等；每个非正等腰三角形与3个含固定顶点A的这种三角形全等；每个不等边三角形与6个含顶点A的不等边三角形全等．但含顶点A的三角形的数目为50．20队参加比赛，问最少要安排多少场比赛，才能使每3队中至少有…     

数学奥林匹克讲与练(21)

例题讲解１６１．空间中有８个点,其中任何４点不共面,在这些点之间连结１７条线段．求证：（１）至少存在一个由这些线段所构成的三角形;（２）由这些线段构成的三角形实际上不少于４个．证明　（１）由一个已知点所引的已知线段的数目,我们称为这点的“度”．取度最大的一点,设其度为ｎ,则有ｎ条线段由这点引出．如果不存在由已知线段构成的三角形,则这ｎ条线段的另外ｎ个端点之间均无已知线段相连．此外尚余（７－ｎ）个点,每点的度不超过ｎ,故每点至多引出ｎ条已知线段,因而由它们引出的已知线段不超过ｎ（７－ｎ）条,于是已…     

数学奥林匹克讲与练(13)

例题讲解９７．甲、乙两人进行乒乓球比赛．在一局比赛中,得分不少于４分且领先２分时获胜;在整个比赛中,胜局不少于６局且领先２局时即成为比赛的优胜者．（１）求证：若甲是优胜者,则甲在整个比赛中所得的总分,不少于甲、乙两人所得的总分之和的４０％．（２）若甲...     

数学奥林匹克讲与练(17)

例题讲解１２９．一个国家的国王打算建ｎ个城市且修（ｎ－１）条道路,使每条道路连结两个城市而不经过其它城市,每两个城市都可以互相到达,其间的最短距离恰是１,２,…,Ｃ２ｎ＝１２ｎ（ｎ－１）这些数,问在下列情况下,国王的打算能否实现：（ｉ）ｎ＝６;（ｉ）...     

数学奥林匹克讲与练(Ⅲ)

例题讲解17．证明：从任意200个共数中，总可以取出100个数，使其和为100的倍数．证明用Pk表示命题：“从（2k—1）个整数中总可以取出足个数，使其和为足的倍数．”证明分以下四步：（I）P。成立：任意三数中必有两数同奇仍性，其和是2的倍数；（1）PS成立：设给定9个整数，其被5除的最小非负剩余为0＜rl＜rZ＜…乓r。＜4．1）若（i：f一1，…，9）中有5个相同，则其对应的5个数之和是5的倍数；2）若（i：f一1，…，9）中无三个相同，则其中必含有0、1、2、3、4，它们所对应的五数之和是5的倍数；3）若（n：i—1，…，9）中有三个或四个…