The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Scattering kernels for the boundary conditions of the boltzmann equation on the moving boundary of two-phase systems

Summary This paper deals with the problem of the boundary conditions for the Boltzmann equation on the moving boundary between a liquid and a vapour phase with condensation and vaporization in non-equilibrium conditions. A physical theory is proposed on the basis of the mathematical theory of the scattering kernels, of the kinetic theory and of the statistical theory of phase-transition. The mathematical result of this theory consists in a set of equations correlating, by means of integral operators, the distribution function of the molecules leaving the liquid surface to the one of the molecules arriving on the surface of the liquid phase.

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Sommario Il presente lavoro studia il problema della condizione al contorno per l'equazione di Boltzmann sulla frontiera mobile fra la fase liquida e quella di vapore di un sistema bifasico in condizioni di disequilibrio termodinamico. Si propone, sulla base dei metodi matematici della teoria cinetica e della teoria degli «scattering kernels» e sulla base dei risultati precedenti di una teoria statistica di transizione di fase, una teoria fisico-matematica per lo studio del problema. In termini matematici si ottiene un operatore che correla la funzione di distribuzione delle molecole che lasciano la superficie liquida alla funzione di distribuzione delle molecole che arrivano sulla superficie. Tale operatore rappresenta la formulazione della condizione al contorno.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research, Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, and presented at the Euromech Colloquium 86 on the «Boltzmann Equation».     

On shakedown of elastic plastic solids

Summary Making reference to elastic perfectly plastic solids subjected to cyclic loads, the problem of the shakedown load factor is considered and the relevant Euler-Lagrange equations are discussed. It is proved that the solution to these equations describes the gradient, with respect to the load multiplier, of the steady-state response of the solid body to the cyclic loads at the shakedown limit, and that it thus enables one to predict the nature of the impending collapse. These results are then extended to the more general case of loads varying within a given load domain.

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Sommario Facendo riferimento a un solido elastico perfettamente plastico soggetto a carichi ciclici, si considera il problema del moltiplicatore dei carichi ad adattamento e si studiano le equazioni di Eulero-Lagrange ad esso associate. Si trova che la soluzione di queste equazioni descrive il gradiente, rispetto al moltiplicatore dei carichi, della risposta stazionaria del solido ai carichi ciclici al limite di adattamento, e che quindi essa consente di predire la natura del collasso incipiente, Questi risultati vengono quindi estesi al caso più generale di carichi variabili in un dato dominio.

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This paper is part of a research project sponsored by the National Research Council (CNR) of Italy.     

Estimates of the post-shakedown response of hardening structures by means of simplified computations

Summary A simplified procedure, aiming at the estimate of the post-shakedown response of elastic-plastic structures under varying external actions, is proposed in the paper. A single step, holonomic elastic-plastic analysis is performed under fictitious loads obtained by replacing the actual, variable, elastic stress response with its envelope. Such a solution is usually a reasonable estimate of the actual response and permits a comparatively stringent bracketing from below and above of some particular functions of the plastic strains actually developed. Often these functions are closely related to quantities of direct engineering relevance, thus stressing the practical interest of the proposed procedure.

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Sommario Si propone un procedimento semplificato per la valutazione della risposta ad adattamento avvenuto di strutture elasto plastiche soggette ad azioni esterne variabili e ripetute. Il procedimento richiede una singola soluzione olonoma della struttura sotto carichi fittizi, ottenuta sostituendo l'effettiva risposta elastica in termini di sforzi, variabile nel tempo, con il suo inviluppo. Si ottiene in tal modo una stima, spesso ragionevole, della soluzione. Inoltre, su questa base si possono costruire delimitazioni, comparativamente buone, sia inferiori che superiori, su alcune funzioni delle deformazioni plastiche effettivamente sviluppate. Queste funzioni sono spesso correlate ad informazioni ingegneristicamente significative, il che conferisce interesse pratico al procedimento.

     

On the Prigogine theory of traffic flow: Driver's program independent of concentration

Summary The Prigogine kinetic equation for traffic flow is considered. It is shown that the relaxation term, whose actual form was introduced by Prigogine for reasons of mathematical simplicity, can be derived from two «structural» assumptions. This procedure shows that the relaxation term is effectively able to account for the time spent in a queue by the vehicles. Since the factorization of the desired velocity distribution is uncompatible with the assumption that the program of each driver is independent of the local concentration, a modification of the Prigogine theory was recently introduced by Paveri Fontana replacing the relaxation term by a new term. We prove that the Paveri term implies a vanishing queueing time. We show also that the assumption of an invariant driver's program can be taken into account without introducing the factorization of the desired velocity distribution with no modification of the basic assumptions of the Prigogine model.

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Sommario Si considera l'equazione cinetica del traffico di Prigogine. Si dimostra che il termine di rilassamento, la cui forma fu introdotta da Prigogine per ragioni di semplicità matematica, si può ricavare da due ipotesi «strutturali». Si dimostra cosi che il termine di rilassamento tiene conto del tempo trascorso in coda dal veicolo. Poichè la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata è incompatibile con l'ipotesi che il programma di ciascun guidatore sia indipendente dalla concentrazione locale, Paveri Fontana introdusse una modificazione della teoria di Prigogine sostituendo il termine di rilassamento con un nuovo termine. Si dimostra che il termine di Paveri implica un tempo di residenza in coda nullo. Si dimostra anche che l'ipotesi di programma invariante si può tenere in conto senza introdurre la fattorizzazione della distribuzione della velocità desiderata e senza modificare le ipotesi fondamentali del modello di Prigogine.

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This work was supported by the Italian Consiglio Nazionale delle Ricerche, under a research contract of the Mathematical Committee.     

On design problems of grid shells

Summary The paper deals with some design problems for grid shells, i.e. spatial structures composed of beam elements whose shape is obtained with inversion of a suspended cable net. The method comes from the conviction that optimal shape of the grid shell is so obtained. The paper points the attention on the fact that the method in object doesn't lead to the optimal shape in case of multiple load conditions. Through an optimization computer procedure, using iterative perturbations of the initial net shape, under constraints of constructive type, the geometry of the cable net that leads to the real minimum weight of the shell structure is finally reached.

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Sommario La nota affronta alcuni problemi di progetto dei gusci grigliati, strutture spaziali discrete la cui geometria è ottenuta tramite l'inversione di una rete di funi sospesa. Questa metodologia deriva dal concetto per cui invertendo la forma di una rete sospesa si ottiene per il guscio grigliato corrispondente la forma ottimale. La nota vuol porre attenzione sul fatto che ciò non viene verificato quando le condizioni di carico che il guscio deve sostenere siano più d'una. Attraverso una procedura di calcolo automatizzata si arriva, con un succedersi di perturbazioni della forma iniziale della rete sospesa, a trovare la geometria che porta all'effettivo minimo di materiale per la struttura del guscio progettato. Questo avviene sotto alcuni vincoli di tipo costruttivo, per esempio lunghezza costante delle aste interne e sezioni trasversali delle aste del guscio scelte entro un «sagomario» prestabilito.

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Research financially supported by a grant of National Research Council of Italy.     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

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Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

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Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Bilateral bounds for structures under dynamic shakedown conditions

Bounds to functions of the plastic strains produced during the elastic-plastic stage of a dynamic loading process leading to shakedown can be constructed on the basis of the solution of a single, static, holonomic elastic-plastic problem. This bounding procedure is described in detail with respect to the case of periodic external loading, and the generalization to an arbitrary dynamic loading condition is provided. Simple examples illustrate the bounding effectiveness of the proposed technique.

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sommario Si mostra come sia possibile produrre delimitazioni di funzioni delle deformazioni plastiche che avvengono durante la fase iniziale di un processo dinamico che si concluda con l'adattamento in regime elastico (shakedown). Si illustra in dettaglio la procedure di delimitazione con riferimento al caso di carichi esterni periodici, e si fornisce l'estensione concettuale al caso di una condizione di carico generica. Due esempi numerici mostrano l'accuratezza e l'efficienza numerica della tecnica proposta.

     

On the elastic problem of the orthotropic thick plate

Summary Equilibrium equations for orthotropic media are written taking the displacement components as unknowns; these equations are integrated with operational methods by separation of the variables.The unknown quantities are six « initial funcitons » that is, displacements and their partial derivatives with respect toz, calculated on the planez=0.Following a method of structural mechanics, the cases of symmetrical and nonsymmetrical loading of plate, namely compression and flexion, are considered separately.The separation of the variables allows us to resolve in two successive stages the problem of the boundary conditions: the Cauchy conditions on the surfacesz=± h become differential equations to which we associate the condition on the cylindrical surface.The process leads to a symbolic solution of the problem from which we construct the resolvent equations in the form of power series of operators. If terms of a higher order are retained in these equations, a more accurate theory is obtained; it is shown that if only the first term is assumed, the equation for the ortho tropic plate in the Kirchhoff-Love sense is obtained.The method is applied in order to resolve a problem numerically; the results are compared with those deduced by the usual theory.

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Sommario Si scrivono le equazioni indefinite dell'equilibrio dei mezzi ortotropi assumendo come incognite le componenti di spostamento; se ne effettua l'integrazione con metodi operazionali per separazione delle variabili. Le incognite risultano esplicitate attraverso sei « funzioni iniziali », cioè spostamenti e loro derivate rispetto a z calcolate sul piano medio.In relazione ad una decomposizione dei carichi si individuano due problemi distinti, di compressione e di flessione, che vengono trattati parallelamente.La separazione delle variabili permette di risolvere in due fasi successive il problema dei valori al contorno: le condizioni di Cauchy sulle facce parallele al piano medio si traducono di fatto in equazioni differenziali cui vanno associate le condizioni sulla superficie cilindrica.Il procedimento conduce ad una soluzione simbolica del problema, a partire dalla quale si costruiscono le equazioni risolventi sotto forma di sviluppi in serie di potenze di operatori. L'ordine delle equazioni risolventi, e quindi il numero di condizioni che si possono soddisfare sulla superficie laterale, è fissato dal numero di termini che si considerano in questi sviluppi; si dimostra che il solo primo termine conduce all'equazione della piastra ortotropa ricavata sotto le ipotesi di Kirchhoff-Love.Il metodo è applicato alla soluzione di un problema concreto; i risultati sono messi a confronto con quelli dedotti dalla teoria ordinaria.

     

A Phragmèn-Lindelöf principle for the thermoelastic cylinder of variable cross-section

We consider a non-prismatic cylinder consisting of an anisotropic, compressible, inhomogeneous thermoelastic material, subject to either null tractions or null displacements on the lateral boundary and loaded by a self-equilibrated force system at one end. We show that the mean square cross-sectional measures of the temperature and the coupled displacement—temperature either grow faster than an exponentially increasing function of axial distance or decrease faster than a decaying exponential function of axial distance. We thus establish a Phragmèn-Lindelöf principle for the thermoelastic cylinder of variable cross-section.

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Sommario Viene considerato un cilindro non-prismatico costituito da un materiale termoelastico, anisotropo, comprimibile ed omogeneo. Il cilindro é soggetto a zero trazioni o zero dislocamenti sul limite laterale ed é caricato su uno dei termini con un sistema autoequilibrilata delle forze. Mostriamo che il valore medio quadratico della temperatura e dell'accoppiata della temperatura ed il dislocamento cresce più veloce che una funzione esponenziale crescente della distanza assiale o diminuisce più veloce che una funzione esponenziale declinante della distanza assiale. Viene stabilito un principio di Phragmèn-Lindelöf per il cilindro termoelastico di sezione trasversale variabile.

     

The multiple collision method in solving the Boltzmann equation for time-dependent test particle transport

Summary The multiple collision method is applied to solve a time-dependent problem of test particle transport as governed by the Boltzmann equation in the frame of the scattering kernel formulation for the collision term. Several features of the solution found are discussed. Curves representing the approach to the steady state are presented.

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Sommario Il metodo delle collisioni multiple è applicato per risolvere un problema temporale di trasporto di particelle «cavia», problema che è descritto dall'equazione di Boltzmann nell'ambito della formulazione, secondo un nucleo di «scattering», del termine di collisione. Alcuni casi particolari della soluzione trovata vengono discussi. Vengono infine presentate curve rappresentanti l'approccio allo stato stazionario.

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presently on leave of absence from the Department of Nuclear Engineering, University of Arizona, Tucson.     

Minimum Theorems and Iterative Solutions Methods for Creep Cyclic Loading Problems

In recent years a particular programming method, the linear matching method, has been particularly successful in the evaluation of optimal upper bounds to shakedown limits for an elastic perfectly plastic body. The method applies to any convex yield condition with an associated flow rule and sufficient conditions for convergence exist. For creep constitutive equations and for a body under cyclic loading, there exist a class of cyclic solutions, the so called 'rapid cycle' solutions for which the residual stress field remains constant throughout the cycle. In this paper an upper bound theorem for the rapid cycle solution is derived and related to the upper bound shakedown theorem. This allows the linear matching method to be extended to this class of creep problems. A sufficient condition for convergence is derived. For a flow potential expressed in terms of a Von Mises effective stress, the sufficient condition is shown to be a simple and common property of creep equations. Sommario. Recentemente, un particolare metodo di programmazione, detto del materiale elastico equivalente, si è rivelato particolarmente efficiente nella valutazione della delimitazione superiore ottimale del limite di adattamento di solidi idealmente elasto-plastici. Il metodo vale con riferimento a qualunque condizione di plasticità convessa con legge di scorrimento associata e sono disponibili condizioni sufficienti di convergenza. Nel caso di legami costitutivi viscosi, per solidi soggetti a carichi ciclici esiste una classe di soluzioni, dette di 'ciclo rapido', in cui gli sforzi residui si mantengono costanti nel ciclo. In questo lavoro si deriva un teorema di delimitazione superiore per le soluzioni di ciclo rapido, che viene relazionato al corrispondente teorema di adattamento. Ciò permette di estendere il metodo del materiale elastico equivalente a questa categoria di problemi viscosi. Una condizione sufficiente per la convergenza del metodo viene anche dimostrata. Nel caso di un potenziale espresso in termini dello sforzo equivalente di von Mises, tale condizione si rivela essere una semplice e comune proprietà del legame costitutivo.     

Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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Regular and singular elastic-plastic solutions to the cracked half-space under anti-plane shear

Summary A classical problem first investigated by Bilby, Cottrell and Swinden is re-examined from the point of view of uniqueness. By formulating the problem in the stress (hodograph) plane it is possible to construct an entire class of singular solutions in a simple closed form. The length of the plastic zone is of arbitrary length. Sufficient conditions are presented which are used to establish a uniqueness theorem. Singular solutions are ruled out if the behaviour of the second order stress terms are prescribed at infinity or if the potential function in the stress plane is required to be bounded.

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Sommario Si riesamina dal punto di vista della unicità un classico problema studiato per la prima volta da Bilby, Cottrell e Swinden. Formulando il problema nel piano delle sollecitazioni (odografo) è possibile costruire un'intera classe di soluzioni singolari in una forma chiusa semplice. La lunghezza della zona plastica è arbitraria. Si presentano condizioni sufficienti che vengono usate per stabilire il teorema di unicità. Soluzioni singolari vengono escluse se si prescrive il comportamento all'infinito dei termini di sollecitazioni di secondo ordine o se si richiede che la funzione potenziale nel piano delle sollecitazioni sia limitata.

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This investigation was partially supported by the National Research Council of Canada.     

Chemical convective instability and quasi-equilibrium thermodynamics

Summary A nonlinear stability analysis is described for the Bénard problem for a chemically reacting fluid heated from above; the findings are compared with those of Wollkind & Frisch. Next an energy stability analysis is given for the model of Wollkind & Frisch and it is shown that instabilities may occur.

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Sommario Si sviluppa un'analisi non lineare della stabilità per il problema di Bénard relativo ad un fluido chimicamente reagente e riscaldato dall'alto; i risultati sono confrontati con quelli trovati in precedenza da Wollkind & Frisch. Successivamente si elabora un'analisi non lineare della stabilità proprio per il modello di Wollkind & Frisch e si mostra che si possono presentare delle instabilità.

     

Scoop optimal shape in a gas ultracentrifuge

Summary The aim of the present study is to design the shape of the UF ₆ extraction scoop for the ultracentrifuges so as to minimize the restraining moment. The local reduction of the fluid velocity is evaluated by considering the equilibrium between the accelerating and restraining forces acting on the fluid. By defining the function to be minimized and the links to be considered for the variables of the problem, the minimum is obtained by means of a typical variational problem. Some optimization examples, at various Mach numbers, and some comparisons with non optimal shape scoops are then shown.

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Sommario Lo scopo del presente studio è quello di individuare la forma che minimizza il momento resistente degli «scoops» di estrazione nelle ultracentrifughe per separazione isotopica dell'esafluoruro di uranio. La riduzione locale della velocità del fluido è calcolata considerando l'equilibrio tra le forze di trascinamento e quelle frenanti agenti sul fluido. La ricerca del minimo è risolta come un tipico problema variazionale. Sono stati esaminati alcuni esempi di ottimizzazione per diversi numeri di Mach; i risultati numerici sono stati confrontati con quelli relativi a «scoops» communemente adottati.

     

„Engineering” error evaluation in approximate structural analysis

Summary It is observed that pure mathematical estimates of errors involved by the introduction of approximate procedures in structural analysis may be insufficient to judge the effectiveness of the method and the adequacy of the results. This circumstance can be explained by the simultaneous presence of many other uncertainties that, making necessary the application of one or more safety coefficients, tend to adsorb, at least partially, the influence of wrong calculations on structure reliability.To take this effect into account, a definition of «error» is proposed, that is strictly related to the concept of «failure probability» (in the wide sense) of the structure. Next, an attempt is made to evaluate the «error on safety», in the context of the Reliability Theory. Finally, possible applications are investigated, and the results are discussed.

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Sommario Si considerano gli errori introdotti nel calcolo delle strutture dall'uso di metodi approssimati. Si osserva che stime di errore puramente matematiche possono essere insufficienti a giudicare l'efficienza del metodo adottato e l'applicabilità dei risultati. Questa circostanza può derivare dalla presenza di molti altri fattori di incertezza che, comportando l'applicazione di uno o più coefficienti di sicurezza, tendono a riassorbire, almeno parzialmente, l'influenza degli errori di calcolo sull'affidabilità delle strutture.Per tenere conto di questo effetto, si propone una definizione di errore strettamente legata alla nozione di «Probabilità di collasso» (in senso lato) della struttura. Si tenta pertanto di valutare l'«errore in sicurezza» nel contesto della teoria della affidabilità. Infine si esplorano alcune possibili applicazioni e si discutono i risultati ottenuti.

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This work was supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.), Italy.     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

Upper and lower bounds for the optimum design of structures with random resistance

Summary The expected value of the minimum weight of material necessary for a structure in order to support assigned loads is considered, when the « resistance » of each element is a random quantity.By going back to a theorem which gives a lower bound for this expected value, a way to compute an upper bound is shown.A way of evaluating the variation of the interval of the existence of the average is then set out.Such bounds are functions of random variables but are evaluated on the basis of a deterministic limit design.

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Sommario Richiamato un teorema[4] che fornisce un minorante del valore medio del volume minimo di strutture soggette a carichi noti e dotate di elementi costituiti da materiale a resistenza aleatoria, si dimostra l'esistenza di un maggiorante.Si dimostra poi come sia possibile stabilire un maggiorante ed un minorante della varianza del minimo volume, e quindi come si possa apprezzare il rischio d'errore connesso alla aleatorietà delle resistenze, nella valutazione del volume minimo.I limiti indicati, benchè derivati da elaborazioni statistiche sulle resistenze, risultano da un progetto ottimale sviluppato con soli calcoli deterministici.

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Study supported by the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).