二次曲线切线方程的进一步讨论

众所周知: 二次曲线过M(x_0,y_0)的切线方程为:a_(11)x_0x+a_(12)((x_0y+y_0x)+a_(22)y_0y+a_(13)(x+x_0)+a_(23)(y_0+y)+a_(33)=0 (2)若已知(1)的切点,解有关的切线问题,应用(2)是较方便的。 但在许多情况下,需求出不在(1)上的点(x_0,y_0)向(1)作的切线方程。这时切线是否存在?如存在可     

关于二次曲线切点弦的几个定理

所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1：过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为     

当M(x_0,y_0)在x轴上时

高中课本《平面解析几何》(甲种本)P74例3的解法欠妥。题目是:已知圆的方程x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程。教科书上的解法可简述为:设所求切线的斜率为k,根据切线垂直于过切点的半径求出k_0,从而得到所求切线方程为xx_0 yy_0=r~2。笔者认为,这种求解过程中忽视了一个特殊的情况,即M(x_0,y_0)是圆上任意一点,既然是任意的,试问,若点M(x_0,y_0)在x轴上时,能设所求切线的斜率吗? 要对一般情况进行讨论,得出一般性结论,就必须对特殊情况加以讨论,这是在解数学题中不能忽视的一个环节。因此,对例3的正确解法应分两个步骤处理: 1 若点M(x_0,y_0)不在x轴和y轴上时,可按教科书上的方法求解。     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

切点弦

一般地说,从圆锥曲线外一点P_0(x_0,y_0),可引两条切线P_0A,P_0B(A,B为切点)。它虽然不象圆那样:具有切线长定理等几何性质,但连结两个切点A、B,所得的方程,却有相同的推导方法。为了叙述上的方便,把这种方程叫做切点弦方程。这种方程的推导简     

关于椭圆、双曲线切线方程的一个结论

<正>题目若点M (x_0,y_0)在圆x²+y2+y²=1上,则过点M的圆的切线方程是____.解(1)当x_0y_0≠0时,设过点M的圆的切线l的斜率为k,因为OM⊥l,所以有k·k_(OM)=-1,又因为k_(OM)=y_0/x_0,x所以x_0/y_0.     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

双曲线切线的存在性及引向

一、《代换法》引出的问题 程龙同志在《代换法则的一些应用》一文中(见数学通报82年第10期)证明了切点弦定理。 定理叙述如下: “设M(x_0,y_0)是二次曲线C:F(x,y)=0外的一点。那么二次曲线C关于点M的切点弦所在的直线方程是:F′_(x_0,y_0)(x,y)=0”     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

常微分方程的Gear差分方法收敛性的充要条件

(一)引言 设m个未知函数的一阶常微分方程组 dy~i/dx=f~i(x,y~1,y~2,…,y~m)(i=1,2,…,m)和初始条件 y’(x_0)=y_0~1,y~2(x_0)=y_0~2,…,y~m(x_0)=y_0~m。以下,我们将用熟知的向量记号,把上述微分方程组和初始条件分别写成     

二元二次方程组为何产生增解

学生解二元二次方程组x y 1=0① x~2 4y~2=8②一般先从①式得y=-x-1③,代入②得x_1=-2,x_2=2/5。再将x_1,x_2代入③或①式得y_1=1,y_2=-7/6。于是原方程组的两个解是     

关于微分方程的解的唯一性问题的一点注记

1.在本文中,我们考虑常微分方程y′=f(x,y)(1)在初始值条件y(x_0)=y_0下的解的唯一性问题。其常见的充分条件是要求右端满足关于变数y的Lipschitz条件,或者稍弱一些的是引用Osgood条件。Rosenblatt给出过如下的充分条件:设函数f(x,y)在x_0≤x≤x_0+a,|y-y_0|≤b上连续,并对某个正数k<1,|f(x,y_1)-f(x,y_2)|(x-x_0)≤k|y_1-y_2|成立,那么(1)过(x_0,y_0)的解为唯一。后来,南云道夫[1]在严格的不等式下将k改进为1(再进一步的推广可以看[2])。     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

代换法则的一些应用

众所周知,要求经过一般二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0上一点p(x_1,y_1)的切线方程,可以应用如下的代换法则: (1) 用x_1x和y_1y分别代换方程中的x~2和y~2:     

利用梯度概念求条件极值

本文介绍利用梯度概念求条件极值的问题.定理 设函数u=f(x,y,z)、(?)(x,y,z)及(?)(x,y,z)在点P_0(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内均有一阶连续的偏导数,且,则函数u=f(x,y,z)在条件(?)(x,y,z)=0及(?)(x,y,z)=0下取得极值的必要条件为gradf(x_0,y_0,z_0)=λgrad(?)(x_0,y_0,z_0) μgrad(?)(x_0,y_0,z_0)(?)(x_0,y_0,z_0)=0,(?)(x_0,y_0,z_0)=0.其中λ、μ为常数.     

二元向量分叉连分式插值的矩阵算法

1 引言 设R~2中的点集Ⅱ~(n,m)由下表给出 (x_0,y_0)(x_0,y_1)…(x_0,y_m) (x_1,y_0)(x_1,y_1)…(x_1,y_m) (1.1) (x_n,y_0)(x_n,y_1)… (x_n,y_m)称Ⅱ~(n,m)为矩形网格.对Ⅱ~(n,m)中的每个点(x_i,y_i)给定d维插值向量v_(ij)并将其按上述方式排成向量网格且用中V~(n,m)记之. d维复向量V的Samelson逆定义为