On a nonlinear evolution problem of particle transport theory with nonconstant collision frequencies

The spatially homogeneous nonlinear integrodifferential Boltzmann equation for test particles interacting between themselves and with a background host medium through scattering and removal collisions is solved analytically in physical conditions in which some of the cross sections do not obey the classical inverse speed law, and the relevant collision frequencies are not constant. Results for the distribution function and the total density are illustrated and commented on.

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Riassunto L'equazione integrodifferenziale nonlineare di Boltzmann per la funzione di distribuzione di un gas di particelle interagenti tra loro e con un prefissato mezzo ospite mediante collisioni binarie di scattering e rimozione è risolta analiticamente in alcuni casi fisici con frequenze di collisione non costanti. I risultati sono brevemente illustrati e commentati.

     

Density profiles of charged test particles diffusing in a slab of finite thickness

Summary In the paper a detailed study of the diffusion of charged test particles in the interior of a slab of finite thickness is carried out upon a suitable functional formulation of the stationary Boltzmann equation. Either the boundary effects and the action of an external conservative force are accounted for. Numerical results for the shape function and the total density of the test particles considered are at last reported for an appropriate specialization of the relevant physical parameters.

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Sommario Nel presente lavoro viene sviluppato-tramite una opportuna formulazione funzionale dell'equazione di Boltzmann nel caso stazionario — uno studio dettagliato della diffusione di particelle cavia cariche all'interno di una lastra piana di spessore finito. Sia gli effetti del contorno che l'azione esercitata da una forza conservativa esterna sono portati in conto. In corrispondenza di una appropriata specifica dei parametri fisici di interesse vengono infine illustrati i risultati numerici ottenuti per la funzione di forma e per la densità totale delle particelle cavia considerate.

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Work performed during the preparation of the thesis for the degree of Dottore in Nuclear Engineering.     

Integral transport theory for test particles in the presence of a time-dependent conservative force

Summary An integral space-independent transport theory for test particles diffusing by collision against the field particles of an unbounded homogeneous host medium, and in the presence of a time-dependent external conservative force, is developed in the paper. Both the cases of a general and of a separable scattering-creation kernel are considered. Functional and constructive features of the theory are also discussed with particular regard to these case of/v-cross sections. Curves, representing the distribution function of the test particles considered and evaluated according to an appropriate specialization of the physical inputs, are shown.

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Sommario In questo lavoro viene formulata una teoria integrale del trasporto, spazialmente uniforme, per particelle cavia, che diffondono per collisione contro le particelle campo di un mezzo omogeneo infinito, ed in presenza di una forza conservativa esterna dipendente dal tempo. Vengono considerati sia il caso di un nucleo di scattering-creazione di tipo generale che il caso di nucleo separabile. Vengono anche discusse proprietà funzionali e costruttive della teoria proposta, con particolare riguardo al caso di sezioni d'urto del tipo 1/v. Sono riportate curve rappresentanti la funzione di distribuzione delle particelle cavia considerate e calculate per una opportuna specifica dei parametri fisici di interesse.

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On leave of absence from Abteilung für Mathematische Physik, Universität Ulm, 7900 Ulm, BRD, in the frame of the Italian National Research Council's (C. N. R.), Visiting Professor Program.     

Space-dependent forces and current density transients in particle transport theory

Transients of current density, that are induced by spatial discontinuities of both electric and magnetic field as applied to a mixture of two different species of particles, are investigated via an application of the linear integral transport equation.

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Sommario Sulla base di una esplicita applicazione dell'equazione integrale del trasporto si studiano transienti di densità di corrente originati da discontinuitá spaziali presenti in un campo elettrico e magnetico, che agiscono su una miscela di due differenti specie di particelle.

     

Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.

     

Alcuni risultati nella dinamica dei solidi elastici inestensibili

Riassunto In questa nota gli Autori dapprima formulano un problema ai limiti di tipo misto molto generale per la dinamica dei solidi elastici inestensibili in una data direzione e stabiliscono per tale problema un teorema di unicità della soluzione relativamente a domini sia limitati che illimitati. In secondo luogo prendono in considerazione il problema ai limiti relativo al solo spostamento ed anche per esso ottengono un teorema di unicità della soluzione. Infine stabiliscono un teorema di reciprocità valido per domini limitati e illimitati.

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Summary In this paper the Authors first formulate a very general mixed boundary-value problem for dynamics of inextensible elastic solids and they establish for this problem a theorem of uniqueness of solution in bounded and unbounded domains. Then they consider displacement boundary-value problem for which they obtain another theorem of uniqueness of solution. At last the Authors establish a reciprocal theorem for bounded and unbounded domains.

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Il lavoro è stato eseguito mentre il secondo Autore usufruiva di una Borsa di Studio C.N.R.     

The modified jump problem for the Helmholtz equation

The boundary value problem for the Helmholtz equation outside several cuts in a plane is studied. The 2 boundary conditions are given on the cuts. One of them specifies the jump of the unkown function. Another one contain the jump of the normal derivative of an unknown function and a limit value of this function on the cuts. The unique solution of this problem is reduced to the uniquely solvable Fredholm equation of the second kind and index zero by means of single layer and angular potentials. The singularities at the ends of the cuts are investigated.

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Sunto Nel presente lavoro si studia il problema al contorno per l'equazione di Helmholtz all'esterno di più tagli nel piano. Le due condizioni al contorno sono assegnate sui tagli. Una di queste prescrive il salto della funzione incognita, l'altra contiene il salto della derivata normale di una funzione incognita ed un valore limite di questa funzione sui tagli. La soluzione univoca di questo problema è ricondotta all'equazione di Fredholm di seconda specie ed indice zero, univocamente risolubiles, per mezzo dei potenziali di singolo strato ed angolare. Si studiano, inoltre, le singolarità agli estremi dei tagli.

     

On the Boltzmann system for a mixture of reacting gases

Exact analytical solutions to the nonlinear spatially homogeneous integro-partiaS differential Boltzmann system, governing the distribution functions of the rarefied gases of a given mixture in the presence of scattering, removal and chemical reaction effects, are derived upon the hypothesis of constant collision frequencies, BGK-type scattering and creation laws, and particles possessing only translational energy. Four classes of second-order chemical reactions are investigated together with the relevant continuity system for the number densities of the participating species.

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Sommario In questo lavoro vengono riportate soluzioni analitiche esatte del sistema integro-differenziale non lineare di Boltzmann, che definisce le funzioni di distribuzione di una miscela di gas rarefatti in presenza di effetti di scattering, di rimozione e di reazioni chimiche. Tre sono le ipotesi invocate, a precisamente: i) la costanza delle frequenze di collisione; ii) il modello di BGK per le leggi di scattering e di creazione, e iii) le particelle costituenti i gas considerati sono dotate di sola energia di traslazione. Vengono cosí studiate quattro classi di reazioni chimiche del secondo ordine insieme al corrispondente sistema di continuità per le densità delle specie partecipanti.

     

Estimates for normal forms of differential equations near an equilibrium point

We consider the problem of finding a normal form for differential equations in the neighbourhood of an equilibrium point, and produce general explicit estimates for both the normal form at a finite order and the remainder, using the method of Lie transforms. With such technique, the classical Poincaré-Dulac theorems are recovered, and the problem of the stability of a reversible system of coupled harmonic oscillators up to exponentially large times is discussed.

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Riassunto Si considera il problema di porre in forma normale un sistema di equazioni differenziali nell'intomo di un punto di equilibrio, e si danno in generale stime esplicite sia per la forma normale troncata ad un ordine finito che per i resti. Si fa uso dell'algoritmo della trasformata di Lie. Con questo metodo si riottengono i teoremi classici di Poincaré-Dulac, e si discute il problema della stabilità per tempi esponenzialmente lunghi di un sistema reversibile di oscillatori armonici accoppiati.

     

Un teorema di esistenza e unicità per un fluido viscoso con memoria

Riassunto In questo lavoro si prova un teorema di esistenza ed unicità per un problema evolutivo relativo ad un fluido viscoso lineare sotto l'ipotesi che l'equazione costitutiva soddisfi la Seconda Legge della Termodinamica.

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Summary In this paper, for a dynamic problem for a linear viscous fluid, we prove existence and uniqueness of solution under the hypothesis that the constitutive equation satisfies the Second law of Thermodynamics.

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Lavoro eseguito nell'ambito delle attività del G.N.F.M. del C.N.R. e dei progetti del 40% del M.P.I.     

On wind driven geophysical flows without bottom friction

The motion of a fluid in a thin domain subject to wind traction at the surface and to slipping at the bottom is investigated. An asymptotic model is derived from Navier-Stokes equations with Coriolis force as the aspect ratio δ=depth/width of the domain go to 0, for not too large Reynolds number.

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Sunto In questo lavoro studiamo il moto di un fluido in un dominio sottile soggetto all’azione del vento in superficie ed a condizioni di slipping sul fondo. Viene derivato, dalle equazioni di Navier-Stokes in presenza della forza di Coriolis, un modello asintotico nel limite in cui il rapporto tra la profondità e la larghezza del dominio tende a zero, per numeri di Reynolds non troppo grandi.

     

The lamellar inclusion problem in plane elasticity

Within the framework of linear isotropic plane elasticity, a general method giving the elastic field in an internally stressed three-phase material is determined. The internal stress source may be located either in or near the lamellar component. General closed-form formulas solving the limiting case of a bimetallic interface are also obtained. As an example of application, the interaction between a lamellar inclusion and a dilatation centre is analyzed.

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Riassunto Nel presente lavoro viene elaborato un metodo per determinare il campo elastico in un materiale a tre fasi deformato internamente. Ciascuna fase e' supposta omogenea ed isotropa e si assume uno stato di deformazione piana, o di sforzo piano, trattabile mediante la teoria lineare dell'elasticita'. La sorgente di deformazione puo' essere localizzata all'interno oppure all'esterno del componente lamellare. Formule risolutive esatte si ricavano nel caso limite di mezzo bifasico. Come esempio di applicazione, viene analizzata l'interazione tra un'inclusione lamellare ed un centro di dilatazione.

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Work supported by the Ministero della Publica Istruzione, Italy     

A regular perturbation approach to the problem of diffusion towards a growing mercury drop electrode

Summary The problem of diffusion of an electroactive species towards a growing mercury drop electrode is treated. An approximate solution for the complete differential equation is given using a regular perturbation technique.

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Riassunto Il lavoro tratta il problema della diffusione di una specie elettroattiva verso un elettrodo a goccia di mercurio che cresce nel tempo. Una tecnica di perturbazione regolare è stata utilizzata per ricavare una soluzione approssimata.

     

Structure of the linearized problem for compressible parallel fluid flows

We consider the linearized compressible Navier-Stokes equation near a parallel flow in a cylindrical domain restricting our study to perturbations periodic in the generatrix direction. For any parameter values, we show that the initial value linear evolution problem is solved by the direct sum of a (strictly) contraction semi-group and an analytic semi-group. Any unbounded in time solution of this linear problem comes from isolated eigenvalues with finite multiplicities, which have non negative real part, and whose imaginary part is bounded. In addition, we precise the structure of the spectrum of the generator of the semi-group, locating the essential spectrum stricly on the left side of the complex plane.

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Sunto Si linearizzano le equazioni di Navier-Stokes comprimibili attorno ad un moto lineare in un cilindro. Senza imporre restrizioni sul moto di base, si studia il problema lineare per perturbazioni periodiche nella direzione della generatrice del cilindro. Si prova che il problema di evoluzione lineare è dato dalla somma diretta di un semigruppo di stretta contrazione ed un semigruppo analitico. Ogni soluzione temporalmente non limitata deriva da autovalori isolati di molteplicità finita, aventi parte reale positiva e parte immaginaria limitata. Si studia anche la struttura dello spettro del generatore del semigruppo, costituito nel lato destro del piano complesso da autovalori di molteplicità finita, e nel lato sinistro di autovalori e da uno spettro essenziale situato su di una retta parallela all’asse immaginario.

     

Existence of weak solutions for some nonlinear problems by the schauder method

Sunto Si studiano alcuni problemi ellittici non lineari con il metodo di Schauder; cio consiste nel « congelare» i coefficienti dell'operatore differenziale e gli eventuali vincoli per dimostrare l'esistenza di una soluzione con un argomento di punto fisso.

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Lavoro eseguito nell'ambito del programma «Metodi variazionali e quasi variazionali per l'equilibrio ed il controllo di sistemi sottoposti a vincoli unilaterali» della Facoltà di Scienze M.F.N. dell'Università di Roma e dello GNAFA-CNR.     

Compact families of<Emphasis Type="Italic">BMO</Emphasis>-quasiconformal mappings I

Families of quasiconformal homeomorphisms of bounded mean oscillation (BMO-qc) are studied from the point of view of compacity (normality + closedness). Using Tukia's convergence theorems and David's existence and factorization theorem, a normality criterion for families ofBMO-qc homeomorphisms and a compacity criterion for families transforming a given compact subsetM ₁ in a compact subsetM ₂ are established.

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Sunto Le famiglie di applicazioni quasiconforme di media oscillazione limitata (BMO-qc) vengono studiate dal punto di vista della compacità (normalità + chiusura). Utilisando i teoremi di convergenza di Tukia ed il teorema di esistenza e fattorisazione di David, si stabiliscono un criterio di normalità per famiglie di omeomorfismiBMO-qc ed un criterio di compacità per famiglie che transformano un certo sottoinsieme compattoM ₁ in uno sottoinsiemeM ₂.

     

On the falling of objects in non-Newtonian fluids

The falling of a lamina in between two parallel plates containing a fluid of second grade is studied. The velocity of the lamina and the fluid are determined by solving the mixed initial—boundary value problem using Laplace transform. Explicit exact solutions are obtained for the velocity of the lamina and the fluid. Next, the falling of a cylinder in a tube containing a fluid of second grade is analyzed using Laplace transform, and once again exact solutions are found.

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Sunto Si studia la caduta di una lamina fra due piastre parallele contenenti un fluido di secondo grado. La velocità della lamina e del fluido sono determinate risolvendo un problema misto al contorno—a valori iniziali per mezzo della trasformata di Laplace—.Si studia poi la caduta di un cilindro in un tubo contenente un fluido di secondo grado utilizzando ancora la trasformata di Laplace e anche in questo caso si determina la soluzione esatta.

     

Su una classe di equazioni integrali lineari in teoria del trasporto

Sunto. In questa nota si discutono le proprietà funzionali di una classe di equazioni integrali lineari che si incontrano in teoria del trasporto sia di particelle sia di calore, e si imposta il problema della loro risoluzione per via costruttiva.

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Summary The functional properties of a class of linear integral equations governing various transport phenomena are discussed in this note. A constructive method relevant to their solution is also presented.

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A Dario Graffi nel suo 70° compleanno

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Entrata in Redazione il 6 settembre 1975.     

Classical and accelerated evaluation of neutron escape probability

Neutron escape probability from a monodimensional plane medium is determined by resorting to the integral neutron transport equation.Both a projection procedure and an appropriate variational approach, yielding an acceleration of the convergence rate, are employed; their numerical results are reported and discussed.The theory is presented in a general form, since it can be applied directly to many basic problems in other branches of applied sciences.

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Riassunto La probabilità di fuga di un neutrone da un mezzo monodimensionale piano viene determinata nell'ambito della teoria integrale del trasporto. Vengono impiegati sia un procedimento proiezionale classico, che un opportuno metodo variazionale in grado di produrre un'accelerazione della velocità di convergenza; i relativi risultati numerici sono riportati e discussi. La teoria è esposta nella sua forma generale, in quanto può essere applicata direttamente a diversi problemi di base in altri rami delle scienze applicate.

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Work supported by the National Group for Mathematical Physics of C.N.R.     

Analytic solutions to problems of radiative transport in an absorbing medium

A method is proposed for solving the linear integral equations governing some problems of radiation transport. The Fourier transform technique provides the solution as a convolution integral of the kernel and a series expansion in orthogonal functions. Two standard problems were considered as an application and the results given in comparison with those obtained by different approaches.

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Riassunto Si propone un metodo per risolvere le equazioni lineari integrali del trasporto radiativo. La tecnica della trasformata di Fourier fornisce la soluzione come integrale di convoluzione del kernel e di uno sviluppo in serie di funzioni ortogonali. Come applicazione si sono risolti due problemi classici ed i risultati si sono confrontati con quelli ottenuti mediante altri procedimenti.

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This work was partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche, Gruppo di Fisica Matematica.