Hlawka不等式的一个证明及应用

Hlawka不等式是处理向量模论的一个重要的初等不等式.它可表述为定理　设z1、z2、z3是三个复数,则　|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|.这个不等式的证明有较大的难度,一般要求构造一个恒等式.[1]本文给出这个不等式的一个简洁的新证明并应用它解决一道征解题.证明　由模的基本不等式有　　|z1(z1+z2+z3)+z2z3|　≤|z1||z1+z2+z3|+|z2z3|,类似还有两式,将此三式左右两边分别相加并化简,得　|(z1+z2)(z1+z3)|+|(z1+z2)(z2+z3)|+　　|(z1+z3)(z2+z3)|≤(|z1|+|z2|+|z3|)|z1+z2+z3|+|z1z2|+|z1z3|+|z2z3|.(1)又由恒等式　|z1+z2|2+|z1+z3|2+|z2+z3|2=|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z1+z2+z3|2,(2)故2&;#215;(1)后与(2)式相加并化简,得　(|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|)2≤(|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|)2,从而两边开平方即可得Hlawka不等式.应...     

构造数学模型,解决初等数学的最值问题

在初等数学复数和函数教学中,我们时常见到关于求复数和函数最值的问题.如果我们对复数的绝对值不等式性质熟悉,构造一个恰当的数学模型,利用复数模的性质,即||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,则可简捷、明快地解决这一类复数和函数的最值问题.利用它来求解十分方便,现举例来说明.     

一个极值定理的复数证明

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册210页第6题给出一个关于复数模的不等式——三角形不等式 ||Z_1|-|Z_2| |≤|Z_1±2|≤|Z_1|+|Z_2|*用它来求一类根式函数的极值是方便的,而且对于扩大学生的视野,加强新旧知识的联系都是有益的。本文用它来证明一个极值定理:     

求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的补注

“|ａ| -|ｂ|≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|”是高中数学中的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 .课本主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,但在高考中却多次考查到 .为此本文加以补充并例谈其应用 .一、定理的补注1.等号成立的条件|ａ +ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≥ 0 ;|ａ -ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ +ｂ| (ａ +ｂ)ｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ -ｂ| (ａ -ｂ)ｂ≥ 0 .2 .字母ａ ,ｂ的范围其实ａ ,ｂ不仅在实数中成立 ,且在复数集中也成立 .同时右边不等式…     

Zygmund函数在闭区间上最大值的估计

对任意实数集 R上的 Zygmund函数 f(x) ,满足条件 :|f(x+t) - 2 f(x) +f(x- t) | ‖ f‖z|t|,x,t∈ R ,且 f(0 ) =f (1 ) =0 ,本文证明maxx∈ [0 ,1 ] |f(x) | 13‖ f‖z.     

复数模的性质应用举例

现行高中代数中,论述复数模的性质有以下几个命题: 1.|Z|~2=||~2=Z·(?)≥0,|R_e(Z)≤|Z|, |R_I(Z)|≤|Z|;2.|Z_1·Z_2|=|Z_1|·|Z_2|,|Z_1/Z_2|=|Z_1|/|Z_2|(Z_2≠0)|Z~n|=|Z|~n; 3.||Z_1|-|Z_2||≤|Z_1±Z_2|≤|Z_1|+|Z_2| 当且仅当argZ_1=argZ_2时,|Z_1+Z_2|_max=|Z_1|+|Z_2|;|Z_1-Z_2|_min=||Z_1|-|Z_2||;当argZ_1=argZ_2±π时,|Z_1-Z_2|_max=|Z_1|+|Z_2|;|Z_1±Z_2|min=||Z_1|-|Z_2||。     

在课堂上培养学生的“联想思维”能力——以复数教学为例

在推导复数的一个基本定理(*)时,教师可先引导学生复习平面几何中的一个基本定理:平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和. 由复数所对应的几何意义,学生不难猜想出复数的一个基本定理:| z1+z2| 2+| z1-z2| 2=2 | z1 | 2+2 | z2 | 2(*). 如上,仿照平行四边形,学生可轻松地猜想出复数的基本定理.之所以如此,是在教师巧妙诱导下学生不自觉地运用了一种“联想”的思维方法.     

Fejér-Riesz不等式的一些推广

<正> 一、主要结果 古典的Fejer-Riesz定理是说:若f(z)在|z|≤1上正则,则对任意的θ(0≤θ<2π)及p>0成立着不等式     

利用绝对值三角不等式解一类圆锥曲线问题

<正>根据绝对值三角不等式的几何意义可以得到如下结论:结论1求动点P到两定点M、N距离和|PM|+|PN|的最小值时,利用三角形中"两边之和大于第三边"易得到不等关系|PM|+|PN|≥|MN|,当且仅当点P在线段MN上时等号成立(如图1).结论2求动点P到两定点M、N距离差||PM|-|PN||的最大值时,利用三角形中     

利用一题多解培养学生的创新意识

发散思维是培养和训练学生创新意识的较好方式之一 ,一题多解属发散思维的一种形式 ,在教学中 ,若能抓住一些典型题例 ,运用一题多解的教学方式 ,它将有益于学生创新意识的培养 .课例　已知复数 z1=3 i,| z2 | =2 ,z1z22 是虚部为正数的纯虚数 ,求复数 z2 .多数学生选用的是代数形式和三角形式 ,两种方法都是利用方程和不等式混合组求解 ,但解法均较复杂 .我首先启发他们 ,| z2 | =2 ,z1已知 ,z1z22为纯虚数 ,从模的角度入手呢 ?很快学生得出解法 3　∵　 | z1| =| z2 | =2 ,∴　 | z1z22 | =| z1| | z22 | =8,则　 z1z22 =8i,　 z22 =2 …     

关于导数模的估计式的一个改进

<正> 利用解析函数实部的最大值来估计导数的最大模,是函数论中常用到的一个重要估计式.其内容如定理1.设函数 f(z)在|z|≤R 上解析,且 A(R)≥0,则对于任意自然数 n,     

关于单位圆上有理函数的最佳逼近

<正> 大家知道,在实轴上用三角多项式逼近周期为2π的连续函数的 Jackson 定理的复数形式为:设函数,f(z)在|z|=1上连续且具有直到 P 级微商,则存在 z 和 z~(-1)的多项式 P_N(z)     

充分发挥课本中定理的效力

在数学的学习当中 ,仅仅掌握课本中定理的证明是不够的 ,而应该深入反思其本质所在 ,在拓广思路的基础上 ,探讨它的新证法 .下面看我们对绝对值不等式定理的思考 .已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证|ａ|- |ｂ|≤ |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.(高中《代数》下册Ｐ 2 6定理 1)证明此题的关键是设法脱去绝对值符号 .思考 1　两边平方的方法 .证法 1　先证 |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.①∵ |ａ ｂ|2 =ａ2 2ａｂ ｂ2 ≤ |ａ|2 2 |ａ|·|ｂ| |ｂ|2 =( |ａ| |ｂ|) 2 ,∴ |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.再证　 |ａ|- |ｂ|≤ |ａ ｂ|.②若 |ａ|- |ｂ|≤ 0时 ,|ａ|- |ｂ|≤ |ａ …     

Some Inequalities for the Polynomial with S-Fold Zeros at the Origin

Let p(z) be a polynomial of degree n, which has no zeros in |z|1,Dewan et al.[K.K.Dewan and Sunil Hans, Generalization of certain well known polynomial inequalities, J. Math. Anal. Appl.,363(2010),pp.38–41] established |zp'(z)+nβ/2p(z)≤n/2{(|β/2|+|1+β/2|)max|z|=1|p(z)|-(|1+β/2|-|β/2|)min|z|=1|p(z)|},for any|β|≤1 and |z|=1.In this paper we improve the above inequality for the polynomial which has no zeros in |z|k,k≥1,except s-fold zeros at the origin. Our results generalize certain well known polynomial inequalities.     

复数的模与共轭复数

模与共轭复数是复数的两个重要概念 .为此 ,我们先罗列模与共轭复数的一些性质 .1　共轭复数的性质1)ｚ1 ｚ2 =ｚ1 ｚ2 ( 表示加、减、乘、除 ) ;2 )ｚ =ｚ ｚ∈Ｒ ;3)ｚ =-ｚ ｚ∈ {纯虚数 }∪ { 0 } ;4 )Ｒｅ(ｚ) =ｚ +ｚ2 ,Ｉｍ(ｚ) =ｚ -ｚ2 .2　复数模的性质1)ｚ·ｚ =|ｚ| 2 =|ｚ| 2 ;2 ) |ｚ1·ｚ2 | =|ｚ1|·|ｚ2 | ;3) ｚ1ｚ2=|ｚ1||ｚ2 | (ｚ2 ≠ 0 ) ;4 ) |ｚ1| - |ｚ2 | ≤ |ｚ1±ｚ2 |≤ |ｚ1| + |ｚ2 | ,其中左边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2 对应的向量ＯＺ1与ＯＺ2 反向 ;右边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2对应的向量Ｏ…     

一类绝对值不等式的快速解法

大家知道:形如|x 2| |3x-5|≥4x 3或|x 2| |3x-5|≤4x 3的不等式,一般采用对x分区间去绝对值的方法来求解,因此较为麻烦.下面将给出这类问题的一种快速解法,为此,我们先给出这类不等式的两个同解定理。     

半球面上一个几何优化问题

单位球面x2+ y2+ z2=1的赤道上(z=0)任意给定不同的三点A,B,C,求上半球面上(z≥0)上的一点D,使得距离和|AD|+|BD|+|CD|取得最大值.通过数值搜索知道,使距离和取得最大值的点D很多情况下位于赤道上,少数情况下位于半球面内部.通过角度计算,同时借助计算机辅助推导,发现了点D在大多数情况下位于...     

例说三角形不等式在解题中的应用

以三角形的任两边之和总大于第三边这一几何事实为背景的不等式:||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1| |z_2|,我们称之为三角形不等式。 教材在不等式与复数两章节中仅给出了三角形不等式,没介绍它的应用,这一出于降低难度的考虑在客观上造成了对其应用的忽视。 它的一个显见的应用是用于解决一类最     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …