龚昇教授《简明微积分》读后感

编者按：本文是吴文俊院士为龚教授即将出版的新版《简明微积分》一书写的读后．文中,作者以十分通俗简明的文字,纵谈古今,勾画了一幅微积分三百年发展的恢宏画卷,令人耳目一新,兴趣盎然．现承吴院士和龚教授首肯,本刊先期予以发表,广大读者得以先读为快．龚具教授的《简明微积分》一书,问世以来已经出了三版,现又将出第四版．该书以Newton～Leibniz关于微积分的基本定理及其高维情形的相应Stokes定理为核心贯串全书,观点新颖而深入,在浩如烟海的微积分教材中可谓独树一帜．该书长期以来在中国科技大学作为教本,取得巨大成功…     

龚昇教授《简明微积分》读后感

龚教授的《简明微积分》一书 ,问世以来已经出了三版 ,现又将出第四版 .该书以 Newton-Leibniz关于微积分的基本定理及其高维情形的相应 Stokes定理为核心贯串全书 ,观点新颖而深入 ,在浩如烟海的微积分教材中可谓独树一帜 .该书长期以来在中国科技大学作为教本 ,取得巨大成功 ,现对该书略述本人阅读后的观感如下 .美国一位著名的数学史家与数学教育家M.Kline先生在他所著《西方文化中的数学》一书中曾经说过 :“一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识 ,在今天不会被认为是一位数学家 .”Kline又说 :“数学是从微积分开始 ,而不是以…     

从微积分的发展看微积分的教学(续二)

麦克斯韦指出,为了认识例如电场这样的向量 A =(Ax,Ay,Az) ,重要的是要知道两个积分,一是 A经过某一曲面S的通量F= sAnds= s A·d s= sAxdydz Aydzdx Azdxdy,(9)另一个是 A沿某曲线L之环流C=∫L A·d s=∫LAxdx Aydy Azdz。(1 0 )尽管它们是由 A生成的,却是两类不同的物理量。(9)和(1 0 )的被积表达式称为二阶与一阶的微分形式ω2 与ω1 。(9)和(1 0 )本来都是很常见的第二型曲线积分与曲面积分。但是正如我们刚才说到的,人们开始研究向量是从代数的、形式的角度来考察的,所以我们现在也从形式的角度来看待它们,所以说它们是“微分…     

从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

从《华人如何学习数学》谈起

世界上第一本由华人为主要作者，以“内部人士”身份，向世界数学教育界介绍和阐述华人数学教育的专著How Chinese Learn Mathematics：Perspectives from Insider，于2004年8月由世界科技出版公司在新加坡出版，主编是范良火，黄毅英，蔡金法，李士铸；李秉彝，张奠宙，林福来，顾泠沅担任顾问．该书的中文版《华人如何学习数学》，也已于今年8月由江苏教育出版社正式出版，约45万字．全书共有20章，分四部分：综述和国际视角，背景及教学材料，教学法与学习过程，启示和未来方向．作者共有32人，其中华人28位，分别来自中国大陆，香港，     

初等微积分教学拾零(续)

(三) 关于求导数 (一) 研究函数的可导性时,利用导数的几何意义,有时会得到直观的启发。但不能过份依赖这种直观性。事实上,有许多函数的图象及其切线是不易或无法画出来的。主要点还是要掌握好可导的解析性定     

初等微积分教学拾零(续)

(六) 关于定积分(接上期) (五) 关于微积分的第二基本定理——牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式。 在[a,b]:f(x)∈c,F′(x)=f(x) (1) 此定理把微分与积分从概念与计算上同时     

微积分严格化之后(续一)

按 L ebesgue思想建立起积分理论 ,先要解决一个如何度量“长度”的问题 ,于是就要有L ebesgue测度的理论。由于这套理论的建立 ,使微积分能在一个更为广阔的天地中发挥它的作用。而对微积分本身的理解 ,与原有的认识相比 ,也达到了更为深刻的地步 ,这套理论将微积分推向到一个更高的层次。这时候 ,前面提到的原有微积分的缺陷与局限性 ,尤其是上述提到的四个问题 ,都得到了改善和解决。1 .在 L ebesgue积分意义下 ,连续函数 f使 ( 1 )成立 ,当且仅当 f是绝对连续函数。前面提到的那个例子 ,f( x) =x是 [0 ,1 ]上的绝对连续函数 ,故在 L e…     

初等微积分教学拾零(续)

(六) 关于定积分 (一) 定积分的概念,也是微积分的一个重要基本概念。它是一个和式的极限。因此,亦是依赖于极限方法建立起来的。其实际背景,如求曲边梯形的面积(分块为条,以直代曲,合条成块,巧取极限);求变力所作的功(化整为零匀代变,合零成整取极限);……等等,都极易看懂。所以初学者在接受定积分的概念时,不会有什么困难。但是,在这里所用到的极限过程,附加了两个“无关”的条件,即与无限细分的分法无关,与中间点的取法无关。若用“ε—δ”语言,可较准确表述为: 考虑y=f(x),D_(?)=[a,b],以及数Ⅰ。若用点a=x_0相似文献   

非标准分析与微积分(连载)

本文将介绍或许是迄今为止最简单的非标准构成法——莱勃(Reeb)的方法。在用此法尽快地引进《无穷小数》后,即通过一些例子,陈述非标准微积分的一些主要结果·作者希望本文能对《高等数学》的教学工作,从感性上提供一些背景材料。与中国科技大学严镇军付教授多次讨论,使本文定稿得到许多有益的改进,对此,作者谨致谢意。“ε,一个幽灵,无穷小的幽灵,在美州大陆徘徊。”——罗宾荪(Robinson) “ω,是自然数?或者不是?这真是个问题。”——莎士比亚——莱勃(Reeb)     

微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

初等微积分教学拾零(续)

(五) 关于求不定积分 (一) 一般高等数学教科书里,关于原函数与不定积分的概念,大多如下叙述: (1) 已知定义在某一区间上的一个函数f(x)。如果有这样的函数F(x),使得在已知区间上的任何一     

非标准分析与微积分(续完)

<正> 下面先写出一些非标准化的法则,用来代替经典分析中相应的法则。然后通过一些难易不一的例子,借以比较出非标准方法的长处。     

从求1984~(1984)的个位数谈起

1984年已经来临,你知道1984~(1984)的个位数是几吗?我们虽然不可能将1984个1984逐次相乘,但是却可以探亲解决这个问题的规律。考察1984~n。其底数的个位数是4,显然1984~n的个位数即4~n的个位数,是n的函数。即n确定后1984~n的个位数也随之确定了。我们将1984~n的个位数记为f_4(n),则f_4(1)=4,f_4 (2)=6;当n继续增加时,1984~n的个位数周期性地重复出现,即f_4(n)为一周期函数,若将其周期记为T_4,则T_4=2。所以f_4(1984)=f_4(2×1991+2)=f_4(2)=6,即1984~(1984)的个位数是6。一般地,若a、b∈N,a~b的个位数也可以求     

微积分教学改革的现代化体现——简评《话说微积分》

龚升教授是我国名的数学家、数学教育家,在微积分的教学和研究领域中,作出了杰出的贡献。1998年5月,龚先生的新《话说微积分》由中国科学技术大学出版社出版。该书问世后,立即受到国内许多知名科学家和数学教育工作的高度评价。     

曲面论(一)--陈省身先生《微积分及其应用》之第四讲(2001.11.02)

1．曲面的标架 今天我们讲一点曲面论。微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的。这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经发生了。那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所     

从微积分的发展看微积分的教学

本文中我们想回顾一下微积分的发展 ,但本文不是一篇数学史的论文。尽管它涉及一些历史事实 ,但有不少事实并未经过专门的考证。而且一些重要的历史事实与历史人物全未涉及。我们希望说明的只是一点 :数学发展归根结底是为了探索大自然规律。为了实现这个目的 ,数学不可能只是某些经验事实的积累 ,也不可能仅仅依靠哲学的思辨。在人类文化的各个分支中 ,数学成了可能是唯一的依靠逻辑规则建立自己的分支。这是它对人类的发展的伟大的 ,不可代替的贡献。如果这个论点是站得往脚的 ,则它的教学过程也应该充分考虑到这一点。但是本文是关于数学…