方格图与正方体中的组合问题

对组合和组合数，人们多偏重于探讨其代数性质，而不太重视它的几何意义．本文将介绍二维组合及多维组合（数）的几何意义，并探讨如何应用组合（数）的几何意义解决组合问题．1二维组合与方格图在平面直角坐标系中，用平行于x轴、y轴的直线x=i、y=i（i=1，2，…）构建方格网（亦称方格图）．显然各交点的横、纵坐标皆为整数，交点可称为整点（或格点）．定义1（二维组合）．在平面方格网中，从坐标原点（0，0）沿格边到点（m，n）的一条递增折线（即由“向右”和“向上”的方格迫连成的折线），叫做点（m，n）的一个组合．定义2（二维组合…     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

格点凸九(十)边形内含格点数问题

格点凸多边形内含格点最少的问题是一较为困难的问题．对3≤，n≤8，问题已获解决，见文［1］、［2」．本文将对格点九（十）边形内含最少格点情况，及任意格来凸n边形的内含格来最少的的构图与面积作初步探讨．引理（i）格点凸五边形若某边上有4个格点，则真内至少含2个格点；（n）拒点0大边形着某边上有3个格点，则真内至少合2个格点．证明（i）如图1所示，设边AIAZ上除顶RAI，AZ外，项目2个榜点PI、PZ，连结A4PI．因为在格点凸五边形AIAZA。A4A。中至少百一格丽P。（见又11」），那么P。可能在①西四边形人ASAIP，内；②西四…     

点可迁图的限制边连通度

设Ｓ是连通图Ｇ的边子集．如果Ｇ－Ｓ不连通而且不含孤立点，那么称Ｓ是Ｇ的一个限制边割，Ｇ中所有限制边割中最小边数称为Ｇ的限制边连通度，记为λ＇（Ｇ）．限制边连通度是对传统边连通度的推广，而且是计算机互连网络容错性的一个重要度量．点可迁图是一类重要的网络模型．本文证明了如下结论： 设 Ｇ是连通的点可迁图．如果 Ｇ的点数ｎ≥ ４，而且点度ｋ≥ ２，那么或者λ＇（Ｇ）＝ ２ｋ－２，或者ｎ是偶数，Ｇ含三角形且存在整数ｍ≥２，使得ｋ≥λ＇（Ｇ）＝ｎ／ｍ≤２ｋ－３．关     

对一类几何问题的初探和猜想

定义1在凸2n 1边形（n是自然数）中，如果一个顶点和一条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这个顶点和这边的中点的连线段叫做这个2n＋1边形的中对残；在凸2n边形（n是不小于2的自然数）中，如果有两条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这两边的中点的连线段叫做这个2n边形的中对线．定义2在凸2n边形中，如果它的一条对角线的两旁的边数相等，那么我们就把这条对角线叫做主对角线．显然，在三角形中，中线与中对线是同一概念．同样，梯形的中位线也是如此．我们知道，二角形的中线平分这个三角形的面积，这些中线不仅共点，而且所共…     

直线方程题卡

直线方程题卡笑文题过点Ｐ（－１，２）作一直线，在两坐标轴上截得的线段等长，则这样的直线有（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条分析只要确定待定直线的斜率，就可以写出所求直线所属的直线系的方程．主解设直线的斜率为ｋ，则有直线系方程ｙ＝ｋ（ｘ＋１）＋２...     

四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

实Grassmann流形上的道路空间

Ｇ（ｎ，ｍ）表示Ｒ￣ｎ＋ｍ中全体ｎ维子空间所构成的实Ｇｒａｓｓｍａｎｎ流形。本文首先找到ｐ，ｑ∈Ｇ（ｎ，ｍ）沿任何测地线均不共轭的充要条件，因此连接这样两点的测地线有可数条。通过计算得到编号为（ｋ＿１，ｋ＿２，…，ｋ＿ｎ）的测地线指标λ（ｋ＿１，ｋ＿２…，ｋ＿ｎ）．最后根据Ｍｏｒｓｅ基本定理得到：设ｐ，ｑ是Ｇ（ｎ，ｍ），上沿任何测地线均不共轭的两点，则连接ｐ，ｑ的分段光滑道路空间同伦于一可数ＣＷ－复形，该复形中的胞腔可编号为（ｋ＿１，ｋ＿２，…，ｋ＿ｎ），ｋ＿ｉ为整数，且编号为（ｋ＿１，ｋ＿２，…，ｋ＿ｎ的胞腔的维数为λ（ｋ＿１，ｋ＿２…，ｋ＿ｎ）。     

双折数、自交数与环数——封闭折线复杂性的三项指标

给定ｎ边封闭折线Ｚｎ，怎样描述它的复杂程度呢？这自然要看它的边的折转情况、边相互间的交织情况和自相缠绕情况，我们分别以双折数、自交数和环数来描述．１　边的折性与双折数如果折线的一条边，其两邻边折向同侧，就叫做单折边，折向异侧的叫做双折边．关于边的折性，我们有如下定理［１］：定理１　封闭折线若有双折边，则有偶数条，左、右旋边各半且相间排列．如果把Ｚｎ双折边的条数ｓ（Ｚｎ）＝ｓ（ｎ）称为双折数，以ｓ０（ｎ）＝ｍａｘｓ（ｎ）表最大双折数，则我们有定理２　ｎ边闭折线的最大双折数ｓ０（ｎ）＝０，２，ｎ－１…     

完全四线形的牛顿线定理的推广

完全四线形的牛顿线定理的推广刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）四条直线两两相交于六点所形成的图形叫做完全四线形．一个完全四线形有四条边和六个顶点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称为对顶线．下面定理是由著名的英国数学家牛顿发现的．定理完全四线形的...     

棋盘上的欧拉问题

一个国际象棋盘，是一个８×８的６４方格，欧拉曾研究过棋盘上马的跳跃问题，他证明了，存在一个马的跳跃路线，从一点出发，经过每一格一次且仅一次，最后又跳回到初始点；上述的这样一个马步跳跃路线，称为棋盘上的马步哈密顿回路；如果不限制最后一步还要能跳回到始点，则称为马步哈密顿路；定义　ｍ，ｎ是正整数，一个（ｍ，ｎ）马，是指在一个充分大的棋盘上一步可纵横跳ｍ，ｎ个格或ｎ，ｍ个格；于是，国际象棋的马是（１，２）马；下面给出一个定理，它刻画了（２，３）马和（１，２）马的本质区别；定理　从８×８棋盘上任一点出发…     

数学奥林匹克讲与练(18)

例题讲解１３７．在一条公共汽车的线路上有１４个车站（其中包括起点站和终点站）,一辆汽车限载２５名乘客．求证：公共汽车在从起点到终点的运行时间内：（ｉ）一定存在８个车站Ａ１、Ｂ１;Ａ２、Ｂ２;Ａ３、Ｂ３;Ａ４、Ｂ４,使对所有的ｋ＝１,２,３,４,没有任何一个乘客是从Ａｋ乘车到Ｂｋ．（ｉｉ）有可能不存在１０个车站Ａ１、Ｂ１;…;Ａ５、Ｂ５具有类似的性质．（乘客从Ａ乘车到Ｂ,系指他在Ａ站上车而在Ｂ站下车）证明　先证明以下引理：“在一个由４９个１×１的小方格组成的７×７的正方形中任意标记出２４个小方格,…     

线画

一.什么叫做线画线画是由有限个点和有限条线所组成的图形,图形中的点叫做线画的顶点,线叫做线画的边;作为线画,则图形还必须满足这样几个条件:1)每个顶点至少是一条边的端点,2)每条边都有两个顶点(可以重合)作为端点(因此每条边都是直线段或者曲线段,3)各条边都不自行相交也不彼此相交。平面几何和立体几何中所遇到的很多由点和线组成的图形都是线画,但是上述三个条件把某些图形排除了出去。条件1)是说线面中不能有孤立的顶点;条件2)是说线画中的边必须有端点(因此直线或者圆都不是线画),也不能只有一个端点(因此射线也不是线画),这时必须注者,两个端点可以重合(因此圆和圆     

关于整边勾股形内整距点问题的探讨

关于整边勾股形内整距点问题的探讨河南省邵阳县下塘云中学张小阳边长为正整数（如５，１２，１３）的直角三角形叫做勾股形．若勾股三角形内部的点Ｐ到它的各边的距离均为正整数，则称点Ｐ叫做整边勾股形内的整距点．（以下简称整距点）问题ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ．ｃ...     

数学奥林匹克讲与练(Ⅰ)

编者按：从本期开始，本刊每期辟专栏连载“数学奥林匹克讲与练”，刊登国内、外数学竟赛优秀试题．每期详细讲解4个例题，并附4个习题．习题于次期给出扼要的解答．所有例习题题型新颖、典型，富有启发性．我们希望这个专栏能为有志于数学奥林匹克的广大学生和教练员提供一份学习和培训的好资料，并成为其良师益友．例题讲解1．一组水平线和一组竖直线将平面分成｜x｜的正方形小方格，一只象棋“马”处于一个格点（即小正方形的顶点）且按下面的规则运动：每走一步，马可以由小方格组成的一个Pxq的矩形的一条对角线的一个端点跳到另一端点…     

一种特殊网格角的平分线的画法

<正>网格,一般是由间距相等的水平线和铅垂线组成的,水平线和铅垂线的交点叫格点,水平线和垂直线围成的每一个小格子都是全等的正方形,小正方形的边长一般称为一个单位长度.我们把顶点在格点上,每条边也经过其它格点的角叫做格点角,如图1中的∠ABC和∠DEF等.利用网格画图是不允许使用圆规、     

关于圆锥曲线的相似

关于圆锥曲线的相似梁伍德（北京市第二十二中学１００００７）我们知道什么叫做三角形相似，什么叫做多边形相似，那么什么叫做两个椭圆相似，或更一般地，什么叫做两条圆锥曲线相似呢？为此，我们先看一看两个图形相似的定义．如果图形Ｆ与Ｆ＇上的所有点构成的集合之间...     

星形多边形初探

在日常生活中,我们经常看到如下图形（图１）：（ａ）　　　　（ｂ）　　　　（ｃ）　　　　（ｄ）图１我们把上述全由双折边组成的简单闭折线,称为星形多边形．在星形多边形中,由相邻两边组成的向外凸的内角叫做外齿角,向内凸的内角叫做内齿角．定理１　星形多边形的边数必为偶数,内、外齿角的数目各半且相间排列．该定理是文［１］定理“封闭折线若有双折边,则有偶数条,左、右旋边各半且相间排列”的直接推论．由于２ｍ边星形多边形有ｍ个外齿角（或内齿角）,于是我们又称之为ｍ齿齿形．在ｍ齿齿形Ａ１Ａ２…Ａ２ｍ中,延长Ａ１Ａ…     

反比例函数及其图象

一、启发提问１．反比例函数的解析式与正比例函数的解析式的区别在哪里？反比例函数自变量的取值范围是什么？２．满足反比例关系的特征是什么？二、读书指导１．形如ｙ＝（其中ｋ是比例系数）的函数叫做反比例函数．自变量ｘ的取值范围是．反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）也可以记成ｙ＝ｋｘ－１（ｋ≠０）２．已知矩形的面积为ｓ．则长ａ与宽ｂ之间的函数关系式为ａ＝,此时ａ与ｂ之间的关系是．３．反比例函数的图象是由条曲线组成,称为．这两条曲线是关于对称．它们的图象一定不过原点．４．画反比例函数图象,由于它不是直线,所以使用…