最大或最小数原理及其应用

下述命题常称为“最大数原理”和“最小数原理”Ⅰ、在有限个实数组成的集合中,存在最大的数和最小的数。Ⅱ、在由整数组成的集合中(有限或无限),存在最小的正整数和最大的负整数。这两个原理是浅显明白的。然而在数学理论的发展及开拓解题思路方面,它们有着许多的应     

最小数原理

集合理论的重要性的一个侧面是它的方法论意义.我们知道,有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不平衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其它元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的依据之一就是本文所要介绍的有关集合的一条简单性质.最小数原理Ⅰ设M是正整数集的一个有非空子集,则M中必有最小数.最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数.推论设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最大数.1最小数原理是解决存在性问题的利器由于最小数原理实际上是一个存在性定理,因而与大量存在性问题有着密…     

判断复数为实数的若干途径

判断复数为实数的若干途径湖北罗田骆驼坳高中金建平判断（或证明）某一复数为实数是高中代数中常见的题型，在解决这类问题时，不少学生往往只局限于＂分离实部与虚部，看虚部是否为零＂的常规做法，而对于其它的途径缺乏了解，以致解题中不能因题而异，弃繁就简．本文拟...     

回避“非必求量” 简求参数取值范围

某个与解题密切相关；但题目本身并未指定要求的数学未知量，不妨称为“非必求量”．在数学解题中，若能回避求解这个“非必求量”，而利用有关概念、性质，将相关条件进行灵活转换，往往会简化运算过程，降低解题难度，提高解题智慧．本文拟通过求参数的取值范围，对上述观点的运用作一些探索．1避求反函数例1设函数为常数），求使f~(-1)（x）＞1的x的取值范围．分析这里f~(-1)（x）是一个“非必求量”．由于反函数的定义域和值域，分别是原函数的值域和定义域．所以，“求使f~(-1)（x）＞1的x的取值范围”可转化为“当x＞1时，求f（x）的…     

重视培养学生用“配方法”解题的习惯

重视培养学生用“配方法”解题的习惯２３００１６安徽肥东一中鲁兵任何实数的平方必非负，这是一条众所周知的性质．养成自觉运用这一性质的习惯．往往会给解题带来方便．９４全国高中数学联赛填空题第６题为：已知９５个数，每一个都只能取＋１或－１两个值之一，那么它...     

半定自共轭四元数矩阵的广义Schur补的交错性

设Ｈ＝　是实数域上有限维除环上的半定自共轭四元数矩阵．本文证明了Ａ在Ｈ中的广义Ｓｃｈｕｒ补（Ｈ／Ａ）＝Ｄ—ＢＡ（１）∈Ｂ与Ａ｛１｝的选择无关且（Ｈ／Ａ）与Ｈ的特征值是交错的．     

复数复习教学的“一二三”

根据考试大纲，教学大纲对复数的要求，以及历年高考复数试题的特点和数学总复习教学的自身规律等，本文对复数的复习教学提出几点设想，供参考．1强化一个区别与联系复数集是在实数集的基础上扩充的．因而复数的性质在实数中自然成立，而实数的性质未必能延拓到复数集上．因此，务必使学生牢固掌握实数集与复数集的区别与联系，弄清给定元素的具体归属，以利准确运用性质．这类问题可在如下几个方面进行强化．（1）复数集与实数集的概念与性质例1判断下列命题是否正确：（z1，z2∈C）6°一个虚数的n次方根（n6N）中可能有实根．通过此例，…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅲ)

例题讲解17．证明：从任意200个共数中，总可以取出100个数，使其和为100的倍数．证明用Pk表示命题：“从（2k—1）个整数中总可以取出足个数，使其和为足的倍数．”证明分以下四步：（I）P。成立：任意三数中必有两数同奇仍性，其和是2的倍数；（1）PS成立：设给定9个整数，其被5除的最小非负剩余为0＜rl＜rZ＜…乓r。＜4．1）若（i：f一1，…，9）中有5个相同，则其对应的5个数之和是5的倍数；2）若（i：f一1，…，9）中无三个相同，则其中必含有0、1、2、3、4，它们所对应的五数之和是5的倍数；3）若（n：i—1，…，9）中有三个或四个…     

关于一类极大子群的θ-偶

对于有限群G的极大子群M，令β（G：M）表示整除│G：M│的素因子个数，β（G）表示所有β（G；M）中的最大数．令μ（G）为使得β（G：M）=β（G）的极大子群的集合．通过对这一类极大子群的θ-偶赋予一定条件，得到了判断群G可解、超可解的新结果．     

关于有限群特征标值的两点注记

通过计算群中的对合数，本文刻画了以下两类有限群：特征标表中有一行至多有两个有理值的有限群；特征标表中有一列至多有两个实数值的有限群．     

深刻源于质朴

对如下一道2008年德国数学奥林匹克试题： 求最小的常数c，使得对所有的实数x，y，有1＋（x＋y）^2≤c（1＋x^2）（1＋y^2）． 高孝君同学在文[1]中谈及了下述两种解法．     

化冰冷的美丽为绽放的绚丽——例谈题解研究

由于数学解题是一种创造性活动，教师谁也无法教会学生所有的题目，解题教学中最重要的是让学生通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智，实现此目标的途径主要有两个：解题分析和案例研究．而解题分析的最佳时机“可能是读者解出一道题的时候，或者是阅读它的解法的时候”（波利亚语），可见，对题解的研究（即“阅读它的解法”，下文称“题解研究”）是学会解题的一个重要途径．     

周期函数最小正周期的一个判别法

非常值的连续周期函数必有最小正周期。但判断某数是已知周期函数的最小正周期,没有一般性方法,并且有时还不太容易。本文给出解决此问题的一个定理。 引理:对任意大于1的自然数k及实数a,下列二式恒成立     

单位圆在解题中的应用

构造单位圆来处理数学问题是一种常用解题方法．其关键是在解题中抓住问题的结构特征，认真分析，仔细观察，挖掘问题的隐含条件，以数定形，以图论性，从而得到美妙的数学思维和简捷的解题方法．使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．例1a、b满足什么条件时，方程对一切m的值总有实数解？由①、②消去x得即问题转化为单位圆与直线至少有一个交点．由故对于一切m，直线③恒过一定点，若在单位圆内或边界上时，直线③和单位圆至少有一个交点．当时．例2求函数y—ZJ3xrt－I－SJ28th的最值．解由已知函数可得函数的定义域为【一2，14」，个…     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

复数在运算中容易与实数混淆的几个问题

复数在运算中容易与实数混淆的几个问题张富群（陕西省丹凤中学７２６２００）实数集是复数集的子集，因此，实数有许多性质是复数所不具备的．学生在学完实数后进入复数的学习时，往往容易在这些方面出现错误．下面举例谈谈复数在运算中容易与实数混淆的几个问题．例１已...     

利用复数的性质^-zz=｜z｜^2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条：一对共轭复数z，^-z的乘积是一个实数，且这个实数等于每一个复数的模的平方，即^-zz=|z|^2=|^-z|^2，这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换．运用这种转换，可以使解题过程更为简捷、新颖．本文以高考试题为例，谈其四种应用，以供参考．     

从聚点解开难点:极限与连续

<正> 全体实数体现了“有序无漏”。有序指二个实数必有一大一小。无漏指实数之间再无漏缺,不象有理数那样“漏洞百出”。每个实数能由十进位小数表示。有理数中有循环小数,循环部分有长有短,无理数绝非循环。实用计算中当然只能写到有限位。要无穷无尽在这一辈子那是不可能的。只能做到要准到小数点几位就能几位而又无限     

妙用＂0·x=0＂解题

我们知道：不论z取何实数时,都有0·x=0恒成立,所以要使ax=b（x为变量,a,b为常数）对于任意实数x恒成立,必须有a=0,且b=0．在一些定值、定点、轨迹和求值等问题中,如果恰当地运用这一结论,会给解题带来意想不到的“惊喜”．下面结合实例来谈谈“0·x=0”在解题中的应用．     

数集确界的一个命题及其在初等数学中的应用

在数学分析中 ,实数集的确界原理反映了实数的一个重要特性———完备性 ,它也是整个数学分析的理论基础 .本文将给出关于实数集的上、下确界的一个命题 ,并谈谈其在初等数学解题中的独特应用 ,由此也可以看出高等数学在初等数学中有用武之地 .为方便 ,先把实数集的上、下确界定义列下 :定义　实数集Ｓ={ｘ},若数 η( ξ)满足( 1 ) η( ξ)是Ｓ的上 (下 )界 ,即 ｘ∈Ｓ有ｘ≤η(ｘ≥ ξ) ;( 2 ) α<η( β>ξ) ,一定存在Ｓ中某个数ｘ0 ,使得ｘ0 >α(ｘ0 <β)则称数 η( ξ)为实数集Ｓ的上 (下 )确界 ,记作η=ｓｕｐＳ( ξ =ｉｎｆＳ) .命…