关于算术根的定义

高级中学代数课本第一册的无理数的变形部分引进了算术根,可是在事先是没有加以定义的。数学通报1955年9月份上发表了黄人达同志的“根式算术根的运算和根式图象”一文(以下简称原文),其中关于算术根的定义,特别是“在什么数集合上来定义算术根”这一问题,我和原文有不同的意见。原文关于“什么是算术根?”一开始叙述为: “根式a~(1/n)所代表的值(假定n是正整数)是多值的,利用代数的或非代数的运算(例如三角运算,便是非代数运算),可以求得n个不同的值,它的n次冪均等于a。我们加以限制,祇取一个主值,这个主值,叫做算术根。例如4的平方根的算术根是2”。     

在高三代数三角教学中編选习题进行課內外練习的体会

学生由理解知識到运用知識,必須经过一个练习过程,因之課外必須有一定数量的练习題进行练习,有时还应上练习課,但是在教学中的其他环节,也同样要給学生以充分练习的机会,如开始讲新課可以用练习来巩固上节课的知識,来引入这节課的新知識;在讲课中可以通过习題来引入概念并与計算相結合,从而启发学生的思維;按照认識发展規律来讲深讲透基础知識;讲完新課之后,可以用习題来巩固与小結新教材的內容。总之,教师还要在各个教学环节中巧妙地提出丰富多样的练习題,給学生以充分练习的机会,使学生能将基础知識基本訓练掌握的深透运用的灵活。以下是我在高三代数、三角教学中有关这方面的一些做法,请多指正。     

由算术根所想到的

根式运算在数学教学中占有一定的地位,根式的算术根则是运算中的关键问题。如果根式运算中忽略了算术根以及定义域和值域,常会导致严重的错误。教学中除了把算术根的概念讲解清楚以外,还应把与算术根有关的问题加以阐明,以杜绝或减少错误的发生。 一、关于算术根的概念 初中代数中的定义:“正数的正的方根,叫算术根”。由于零的任何次方根都是零,所以把     

談談算术根問題

算术根是中学数学的重要概念之一,它不仅和代数式的恆等变換、解方程、函数的图象有密切关系,甚至在三角学的恆等变換中也有它的应用。可是这些問題,在現行高中数学課本中并沒有得到很好地闡明,学生对这个概念也就掌握得不够好,于是造成了升入高等学校后学习数学的困难。为此,本文企图在中学数学范围內比較全面地闡述有关算术根問題,供同志們教学上参考。     

关于代数习題的編选

在数学教學中,要使学生巩固灵活地掌握基础知識并培养他們計算和演算的技能技巧以及加强邏輯思維能力等等,都必須让他們解答一定数量又具有較高质量的习題;并且通过独立解答习題可以培养他們应用所学知識进行創造性劳动的习惯。为了提高练习的效果,教师必須重視习題的选择和配备。在单元备課时,把单元里的习題全部研究一遍,这是教师应尽的責任,然后根据习題的类型、深广度和所联系到的旧知識来考虑某些題可作例題,某些題可作单元的課外作业,哪些題則沒有必要布置給学生。教师在平时应多参考其它数学課本和习題集里有关的习題,以便从中可以选择一些作为例題或作为习題布置給全班或部分学生。当实际教学时,可再根据实际情况,結合学生在概念和运算上所存在的問題,再編拟一些习題。     

三角形与四边形面积的分割

在1961—1962年北京出版社出版的平面几何課本(北京市初級中学試用課本)內,有关多边形的面积的教材,已不立专章讲授,而将其中最基本的部分(計算的与作图的),分編于各有关章节內。虽然如此,笔者认为如果把同一类型的問題整理在一起,作为学生的課外短篇讀物,对于学生还是有益的。     

談談数学課內練习的問題

在数学教学中,使学生加强练习,目前已为各方面所注意了。但是对怎样加强练习,看来认識还不統一。譬如,由于采用了不恰当的多练方法,过多地加重了課外练习的数量和强度,以致使学生的学习負担显著增加。这样不但不能达到提高教学质量的目的,相反地可能还会降低质量,下面就立体几何談談笔者对于加强练习問題的一些做法与体会,不当之处請同志們指教。练习应当包含两方面:一是課外练习,一是課內练习。而課內练习往往容易被人忽視,也是做起来比較困难的一环,但它却是练习中必不可少的环节,这是因为: 第一,它是加深理解和巩固所学基本知識与灵活运用基本知識的重要环节,是防止遺忘的良好办法,我們大家都有这样的体会,那就是即使教师教得很好,也还下能保証学生能全部掌握所学的內容,尤其是对     

指导学生独立地完成数学作业的几点体会

教师讲解示范例題 对数学課的教学来說,当然讲清数學的概念和规律是头等重要的任务,不然的話学生就根本学不会数學知識。我这里談的是在基本上听懂了老师所讲的知識后,如何指导学生独立地更好地完成課內外的作业问題。我觉得教师在讲数学的概念、法則、性貭、定理后,接着就要讲这些概念、法則、性貭、定理如何应用的例題,或者通过一些例題来分析所讲的概念、法則、性貭、定理等基础知識,通过这些例題的讲解不仅能促使学生学会数学基础知識如何应用,帮助学生进一步理解基础知識,同时也能启发学生独立思考的方法和途径。究竟怎样来选择例題才能达到上述的要求呢?个人有这样几点体会。一、精心选择例題。例題的来路很广,书上有例題,习題中的有些題目还可以选作例題,課外参考书上也可以挑选些例題,教师自己也可以編拟些例題等等,但問題不在于例題选自何处,而在于所选例題的內容是否确当,教师能否有目的地讲解这些例题。 1.教师耍选用具有代表性的例題,通过这些例題的讲解,启发学生举一反三,触类傍通。教师应该认真研究这些具有代表性的例題,看它能解决什么样的問題,怎样在讲解过程中向学生揭示它的代表性和規律,这样使学生用所学的例題当响导去解决其他一些练习     

关于在高中平面几何课中的近似計算問題

我們知道,經常遇到的近似計算題,一般可分两类:(一)知道了施行計算的近似值的精确度,要决定計算結果的精确度,(二)恰好与(一)相反,已知計算結果需要有的精确度,而要决定施行計算的近似值应取的精确度——有預先给定精确度的計算。在現行教科书第六章內,有大量的属于第(二)类的近似計算问題,而課本上却沒有必要的讲解与提示:而又不为教师所注意,也有很多学生在解这类問題时产生錯誤。因此,我想就課本內的一些关于圆的周长与面积的近似计算問題加以說明,引起教师对这一段教材的注意,又可供中学生在学习过程中的参考。下面就对这些問題加以探討,希望同志們多加批評指导。一、目前的中学数学課程中还沒有系統地讲近似計算的理論知識,因此,我們尽量使演算过程直观,形象,避免过多的理論叙述,由于在課本內的問題均是有     

无理方程的有理化

高中同学学过无理方程的解法。課本习題中只有含有四个二次根式的无理方程,对于含有更多个根式的无理方程的解法,同学們是有困难的。为了加深同学們的数学知識的深度,可在数学課外小組,研究无理方程的有理化。一、在高中一年級代数課里讲过无理方程。无理方程的解法,一般是把方程两边屡次乘方,或把方程两边乘以有理化因式,把无理方程变形为有理方程,然后再解有理方程,从而求得无理方程的根。例如     

介紹新编初級中学課本代数上册

人民教育出版社根据中学数学教学大綱(修訂草案)編写的初級中学課本代数上册,將在今年秋季开始在全国各地使用。这本書是供初中二年級代数教学用的。它的基本內容是講有理数的概念,它們在数軸上的表示和它們的运算,有理式的恒等变形以及簡單的一元一次方程的解法,全書共分五章。第一章講代数式、方程以及和它們有关的一些概念。这一章的目的是在学生已經具有的算术知識的基础上,逐步过渡到代数,使学生理解字母表示数的作用,並且使学生熟悉代数学中常用的一些名詞和术語。为了使学生更清楚地和更迅速地理解字母表示数的作用,在这一章中就引入了根据算术运算中已知数和得数間的关系解方程以及列出方程解应用題的方法。第二章講有理数和它的四則运算,为了使学生易於理解,关於有理数、有理数大小的比較、有理数加法和有理数乘法等概念,都利用具体的实例来說明,並且充分利用数軸。在这一章     

在八年制学校几何課中的相似三角形

在新的大綱中反映出,八年制学校中的几何課程的結构体系有重大改变。因此,在我們看来几何課程的讲述,也必須从根本上重新加以考虑。如果学生在七年級时已經学过了关于多边形面积的定理,在八年級仍然用老办法讲关于相似三角形的問題未必是正确的。     

运算与逆运算的复习課一例

在平面三角課本习題二十第9题(2)中提出:“x在什么区間內,arc cos(cos x)中等于x?”学生在回答这个問題时与在高中一年級回答,“x在什么区間內,x~2~(1/2)才等于x?”一样地遇到困难(甚至困惑)!为了使得学生能正确地、自觉地认清这个問題,我在耕解时是从“运算与其逆运算的順序”这一角度出发,井从复习下面几个問题开始: 1.(1) (x a)-a=x,(原数x) (2) (x-a) a=x;(原数x) 2.(1) (x·a)÷a=x,(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) (2) (x÷a)·a=x;(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) 3.(1) ((x)~(1/2))~2=x,(原数x;为了使得运算能在实数集合内进行,必須     

敎四則应用問題的几点体会

算术四則应用題,对初中一年級学生說来,是比較难于接受的,敎师講解时也感到困难。往往是学生听懂了,課后却不能独立思考、完成作業。其原因就是这些問題沒有固定的解法,不知如何把一些分散的条件联系起来逐步推到要求的問題上去。过去有过很多这方面的經驗,特別是圖解法,在講解应用題中起着很大的作用。本文打算从另外几个方面来談。 1.使学生牢固的掌握最常見的数量关系大綱說:“应用題的內容应当由最常見的数     

談課堂教学中的“練”——立体几何教学体会

要提高教学质量,在教学过程中必须有讲有练。讲与练是不可分割的两部分,在课堂教学中,要少而精地进行讲解,同时还必须在少而精讲解的基础上,有计划有目的地指导学生练习。只有当学生通过这种实践活动以后,学生才有可能把教师所讲的知识真正学到手。因而,课堂练习对于提高教学质量有很重大的意义。如何才能组织好课堂中的“练”,使它充分发挥作用呢?下面是我在立体几何教学中的几点体会: (一) 练习题的选择 (1) 练习的內容要“精”,毛主席教导我们解决问題要抓主要矛盾,因而在讲课时要精讲,同样,练的內容也要精选。一节课总共只有五十分钟,课堂练习的时间是有限的,如果把一节课讲的所有知识不分主次地     

現行高中平面几何課本里关于圓周長的一段“注意”的証明

在人民教育出版社出版的“高級中学課本平面几何”中,在用圓內接正多边形用边数加倍的方法,所得一列正多边形周長的極限来定义了圓周長之后,下面有一个注意,說:“实际上,只要从圓的任意一个內接多边形(不一定要是內接正多边形)出發,用任何方法(不一定用边数加倍的方法)使它的边数無限增加,各边無限縮短,那末这些多边形的周長也有一个     

关于六年級学生的目測力和空間想象力的发展

为了培养学生参加实际活动的能力,在几何課程中必須經常发展学生的空間想象力和目測力。本文的目的便是介紹一下怎样有系統的进行这方面的专门的练习。在六年級的几何課中,发展学生的目測力和空間想象力方面的练习內容包括: 1.目測     

中等数学課外作业的检查与批改

几年来我們在教研組內曾經数次专題研究过“怎样检查与批改学生的課外作业”这一問題。在这几年当中,通过校內教师交流經驗,学习报刊、杂誌及书籍上介紹的經驗,并通过实践和从实践当中总結出来的經驗与教訓,我們摸索出一些方法,由于水平的限制,这些方法还极不完善也許在某些方面还是錯誤的。本着敢想、敢說、敢干的精神,现在大胆地将它写出来,希望大家共同来研究。在課外作业的检查与批改上,我們采取的方法是“全面检查,重点批改”,全面检查可以使教师全面掌握学生的学习情况,而重点批改則可以节約教师的时間,并使批改工作脫离形式主义,发揮它最大的作用。二者是相輔相成的关系。对課外作业我們检查下面几个方面:1)是否按时全部完成;2)有无錯誤,是否整洁;3)重作的作业是否     

“冪和方根”的教学

在这一部分內容以前的教材里,包括了下面几部分主要內容:1.有理数;2.有理式的恆等变形;3.一次方程,为了进一步学习二次或者更高次的方程,就必然涉及到开方問題和根式問题;同时,也必須涉及到实数問題。所以这部分教材、主要介紹了方根;把数的概念由有理数扩张到了实数;研究了根式的变形,从而完成了代数式的恆等变形。这一部分教材包括有:乘方、方根、实数和根式等四个单元。下面分四部分来談。     

符号α～(1/n)究竟表示什么?

在中学数学教学中,对于新概念的介紹和新符号的使用,必須揭露其特点、肯定其意义。并且有时随着有关知識的扩充和发展,前面已經明确了的概念和符号,也应得到相应的扩充和发展。但在現用的高中代数課本中,符号a~(1/n)究竟表示什么?并沒有得到彻底的解决。这在讲过复数三角函数式开方的教师,大概都有同感。下面就来談談我們的意見。代数課本里在引入实数之前,介紹了方根以及方根的記号。关于方根的記法,課本里§7是这么写着:“a的n次方根,用符号a~(1/n)来表示,”下面接着就解释:“因为正数的偶次方根必須是两个相反的数,所以我們还規定,在a是正数,n是偶数的时候,符号a~(1/n)只表示两个方根里的汇的一个,而負的一个用符号—a~(1/n)表示”,也就是說,当a>0,n是偶数的时候,符号a~(1/n)表示的是算术根。在課本§15又写着:“式子a~(1/n)叫做根式,这里在n是奇数的时候,a可以是任何实数;在n是偶数的时候,a可以是任何正实数或者零”。这里只限定在实数范围之內,符号a~(1/n)的意义是肯定的,也就是說: