均值代换和不等式的证明 |
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引用本文: | 徐鸿迟,季新民.均值代换和不等式的证明[J].数学通报,2001(11):21-21,33. |
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作者姓名: | 徐鸿迟 季新民 |
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作者单位: | 徐鸿迟(江苏省泰州中学,225300)
季新民(江苏省泰州中学,225300) |
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摘 要: | 设x≥ 0 ,y≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式A ≥G的应用 ,我们把代换A =x y2G =xy叫做均值代换 .在这样的代换下有 :x y =2A ,xy=G2 ,(x -y) 2 =4A2 - 4G2 =4(A G) (A-G)x2 y2 =4A2 - 2G2 =2 (2A2 -G2 )x3 y3=8A3- 6AG2 =2A(4A2 - 3G2 )……由于max(x ,y)≥A≥G≥min(x ,y) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1 (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数a≠b之算术平均值A=a b2 与几何平均值B=ab ,有B <(a-b) …
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关 键 词: | 均值代换 不等式 证明 数学 |
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