有向面积及其应用

本文约定用〔ABC〕,〔AB… GH〕表示△ ABC,多边形 AB… GH的面积 .设 D、E、F是△ABC的 BC、CA、AB边上的点 ,且 BDDC=l,CEEA=m,AFF B=n,文〔1〕证明了〔DEF〕〔ABC〕=1 lmn( 1 l) ( 1 m) ( 1 n) . ( 1)文〔2〕进一步指出 ,若 D、E、F 是直线 BC、CA、AB上的点 ,且有向线段之比 BDDC=l,CEEA=m,AFF B=n,则〔DEF〕〔ABC〕=1 lmn( 1 l) ( 1 m) ( 1 n) . ( 2 )但文〔2〕未加证明 ,本文给出 ( 2 )的证明 .为此 ,先介绍多边形的有向面积 .设有△ A1 A2 A3 ,当其顶点绕行方向为逆时针方向时 ,记 S =〔A1 A2 A3 〕…