与马猜想有关的一类不定方程 |
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引用本文: | 罗家贵,费双林,李 垣.与马猜想有关的一类不定方程[J].数学年刊A辑(中文版),2021,42(2):229-236. |
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作者姓名: | 罗家贵 费双林 李 垣 |
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作者单位: | 西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637009. |
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基金项目: | 国家自然科学基金 (No.\,10571180) 和四川省教育厅重大培育项目(No.\,16ZA0173) |
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摘 要: | 设$p$是奇素数, $b,t,r\in{\rm N}$. 1992 年, 马少麟猜想丢番图方程 $x^2=2^{2b+2}p^{2t}-2^{b+2}p^{t+r}+1$有唯一的正整数解$(x,b,p,t,r)=(49,3,5,1,2)$, 并且证明了这个猜想蕴含McFarland关于乘子为$-1$ 的阿贝尔差集的猜想.在Ma S L, MaFarland''conjecture on Abelian difference sets with multiplier-1J]. {\it Designs, Codes and Cryptography,} 1992, 1:321--332.]中, 马少麟证明了: 若$t\geq r$,则丢番图方程$x^2=2^{2b+2}p^{2t}-2^{b+2}p^{t+r}+1$没有正整数解. 本文证明了: 若$a>1$是奇数,$t\geq r$, 那么丢番图方程$x^2=2^{2b+2}a^{2t}-2^{b+2}a^{t+r}+1$的正整数解由$t=r=1, x+a\sqrt{2^{b+2}(2^b-1)}=(2^{b+1}-1+\sqrt{2^{b+2}(2^b-1)})^{n}$给出, 其中$n$为奇数.作者也证明了: 若$p$是奇素数, 则$(x,b,p,t,r)=(7,3,5,1,2)$是丢番图方程$x^4=2^{2b+2}p^{2t}-2^{b+2}p^{t+r}+1$的唯一正整数解.
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关 键 词: | McFarland''s猜想 丢番图方程 基本解 |
收稿时间: | 2018/8/13 0:00:00 |
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