Relations de dépendance entre les équations fonctionnelles de Cauchy

Résumé Afin d'examiner les relations entre les différentes équations de Cauchy, nous résolvons, sans aucune hypothèse de régularité, l'équation fonctionnellea f(xy) + b f(x)f(y) + c f(x + y) + d (f(x) + f(y)) = 0, pour des fonctionsf, définies sur un anneau unifère divisible par deux et prenant leurs valeurs dans un corps, Les coefficientsa, b, c, etd appartiennent au centre de ce corps. Entre autres applications, nous en déduisons qu'une seule équation, à savoirf(xy) + f(x + y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y), caractérise les endomorphismes des corps dont la caractéristique est différente de 2. En introduisant la notion d'équations fonctionnelles étrangères et d'équations fonctionnelles fortement étrangères, nous concluons à l'indépendance, au sens de cette notion, des équations classiques de Cauchy.

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Summary In order to study the inter-relations between the four Cauchy functional equations, we solve the functional equationa f(xy) + b f(x) f(y) + c f(x + y) + d(f(x) + f(y)) = 0. The functionf is defined over a ring which is divisible by 2 and which possesses a unit, while the values off are in a(skew)-field. The constantsa, b, c andd belong to this field and commute with all elements of thes-field. No regularity assumption is made onf. Among other applications, we show that the single equationf(xy) + f(x + y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y), is enough to characterize field endormophisms in fields of characteristic different from 2. We introduce the notion of alien functional equations and that of strongly alien functional equations, to conclude that for such notions, Cauchy equations are indeed largely independent.

Dédié avec nos meilleurs voeux à Monsieur le Professeur Otto Haupt à l'occasion de son centenaire