对弹性理论中临界变分状态的一个注记

(t) 最近钱伟长教授指出,在某些情况下,用普通的拉氏乘子法,其待定的拉氏乘子在变分中恒等于零,这称为临界变分状态,在这种临界状态中,我们无法用待定拉氏乘子法把变分的约束条件吸收入泛函,从而解除这个约束条件。例如用拉氏乘子法,从最小余能原理只能导出Hellinger-Reissner变分原理,这个原理中只有应力和位移两类独立变量,而应力应变关系仍然是变分的约束条件。为了消除这个约束条件,钱伟长教授提出了高次拉氏乘子法,即在泛函中引入二次项来消除应力应变这个约束条件。 本文目的是要证明,如果在泛函中引入如下二次项我们也可以用高次拉氏乘子法解除应力应变这个变分约束条件。用这种方法,我们不仅可以从Hel-linger-Reissner原理的基础上,找到更一般的广义变分原理。在特殊情况下,这个更一般的广义变分原理,可以还原为各种已知的弹性理论变分原理。同样,我们也可以从Hu-Washizu(胡海昌-鹫津久-郎)变分原理,用高次拉氏乘子法,求得比该原理更一般的广义变分原理。