关于四面体的几个不等式

本文将用初等方法证明四面体中的几个不等式。定理设四面体ABCD的体积为V,顶点A、B、C、D所对面的面积分别为S_A、S_B、S_C、S_D,棱长BC=a、DA=a＇、CA=b,DB=b＇。AB=c,DC=C＇,这六条棱的乘积为P,则有以下不等式: (1)(aa＇)~2 (bb＇)~2 (cc＇)~2 ≥4(S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2); (2)S_A~2 S_B~2 S_C~2 S_D~2≥9(3V~4)1/3; (3)P≥72V~2。当且仅当四面体为正四面体时(1)、(2)、(3)中等号成立。