一个轮换对称不等式的证明 |
| |
引用本文: | 褚小光.一个轮换对称不等式的证明[J].中学数学,2000(12). |
| |
作者姓名: | 褚小光 |
| |
作者单位: | 江苏省吴县市外贸公司 |
| |
摘 要: | 文1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式 ∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理 在△ABC中有 ∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明 先将(3)式右边进行恒等变换可得 2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而 ∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于 14(2∑b2+c2a2-3)≥38(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2 ∑a2(b-c)2 ≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左...
|
本文献已被 维普 等数据库收录! |
|