发展方程长时间计算的稳定性与收敛性

本文是5]的继续，作者在5]中从稳定性与收敛性之间的关系入手，研究了半线性发展方程数值法的长时间误差估计，那里要求离散化方程当tn=nτ充分大后在某种较严格的意义下稳定，这限制了它的应用范围，本文引进γ-相容的概念，证明由γ－相容和较弱意义下的稳定性可以推出 收敛性，特别对齐次线性和初值问题的差分格式得到了无穷时域上的Lax等价定理，本文2引进γ－相容的概念，并就齐次线性初值问题的差分格式，给出Lax等价定理对无穷时域的推广，3讨论非线性初值问题的数值逼近，对全离散逼近，我们给出两类由长时间稳定（严格稳定）＋γ－相容（相容）无穷时域上收敛性的定量，由于γ－相容性对偏微分方程（同时含有时间和人间变量）通常比对常微分方程组（只含有时间变量）更难检验，为此，我们特别针对常微分方程组数值解给出第三个收敛性定理，我们知道偏微分方程（组）半离散化就是常微分方程组，若能证明半离散解的长时间收敛性，我们就可以利用这一定理证明全离散解的长时间收敛性了，最后在3，作为应用我们指出，可以利用本文方法证明2]和4]的结果。并改进1]的结果。γ

THE STABILITY AND CONVERGENCE OF LONG-TIME COMPUTING EVOLUTION EQUATIONS

We consider the relations between the long-time stability, compatility and convergence of the numerical methods for evolution equations. The key to establish the long-time convergence lies in introducing the idea of the γ-compatility, stability and strict stability on the infinity time interval. For finite difference methods of homogeneous linear initial-value problem, we extend the Lax equivalence theorem to infinite time interval by using the γ-compatility. For nonlinear initial-value problem, we give two kinds of long-time convergence theorems. In roughly speaking, longtime stability (or strict stability) and γ-compatility (or compatility) implicate longtime convergence. At last, we indicate several applications on the FEM and FDM for evolution equations.