On the condition of nearness between operators

Summary Let A and B be two mappings defined on a setB taking values in a Banach spaceB ₁. We present a theory of nearness of mappings A and B. We shall prove, for instance, that A is injective, or surjective or bijective if and only if A is near B with these properties (see Appendix). We shall give sufficient conditions for the nearness in the general case and then in the particular case whereinB ₁ C¹ After recalling an appropriate definition of a quasi-basic elliptic operator (see1] and2]) we prove, for these operators an isomorphism theorem H^{2, q} H ₀ ¹ ,^q() L^q(), with q > 1, valid also when is not convex. This result improves an earlier result of 3]. The final section is dedicated to parabolic operators.

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Sunto Siano A e B due applicazioni definite su un insiemeB e a valori in un spazio di BanachB ₁. Si espone una teoria delle applicazioni A e B vicine. Si dimostra, ad esempio, che A è iniettiva, o surgettiva, o bigettiva se e solo se A è vicina ad una B con queste proprietà (cfr. Appendice). Si danno condizioni sufficienti per la vicinanza nel caso generale e poi nel caso particolare in cuiB ₁ è un spazio di Hilbert. Ulteriori condizioni sufficienti si danno quando A e B sono applicazioni differenziali non variazionali, del 2 ordine, definite su un aperto R_n, di classe C₁. Ricordata una opportuna definizione di operatore ellittico quasibase (cfr. 1] e 2]) si dimostra, per questi operatori un teorema di isomorfismo H_2,q H ₀ ^1,q () L^q(), con q > 1, valevole anche quando non è convesso. Questo risultato migliora un précedente risultato di3]. L'ultimo paragrafo è dedicato agli operatori parabolici.

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This last point of the above proof was communicated to me by Dr. A.Tarsia, for which I thank him.