一个组合数求和的递推公式 |
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引用本文: | 夏大生.一个组合数求和的递推公式[J].中学数学,1986(4). |
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作者姓名: | 夏大生 |
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作者单位: | 江汉大学 |
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摘 要: | 中学教材中有下列恒等式:C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n=n·2~(n-1)。实际上,有更一般的组合数求和的递推公式(*): 1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n =n1~(n-1)C_n~1 2~(k-1)C_n~2… n~(k-1)C_n~n]--1~(k-1)C_(n-1)~1 2~(k-1)C_(n-1)~2 … (n-1)~(k-1)C_(n-1)~(n-1)] (k∈N) 此公式证明如下: ∵n1~(k-1)C_n~1 2~(k-1)C_n~2 … (n-1)~(k-1)C_n~(n-1) n~(k-1)C_n~n] =n·1~(k-1)C_n~1 n·2~(k-1)C_n~2 … n·(n-1)~(k-1)C_n~(n-1) n~kC_n~n =1~kC_n~1 1~(k-1)(n-1)C_n~1]
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