抛物线中的定点弦问题

文1]对圆锥曲线中的定点弦问题进行探讨,本文再给出与抛物线中的定点弦有关的另二个定理.定理1已知AB为抛物线C:y2=2px(p>0)的一条动弦,O为坐标系原点,OA·OB=t(t为常数且t p2≥0).(i)当A,B两点位于x轴的两侧时,AB弦过定点(p p2 t,0).(ii)当A,B两点位于x轴的同侧时,AB弦过定点(p-p2 t,0).证设AB:my x n=0,代入抛物线C:2y2=2px得:y2 2pmy 2pn=0,设A(y12p,y1),B(y222p,y2).由韦达定理得y1y2=2pn(1)∵OA·OB=t,∴(y1y2)24p2 y1y2=t,即(y1y2)2 4p2(y1y2)-4p2t=0.∵t p2≥0,∴Δ=(4p2)2 16p2t=16p2(p2 t)≥0,2±16p2(p2 t)∴y1y2=-4p2…