A bound on the strain energy for the traction problem in finite elasticity with localized non-zero surface data

For the boundary value problem in finite elasticity in which nonzero tractions are given on a connected subdomain of the boundary, the rest of the boundary is stress-free, and there are no body forces, a bound is obtained for the strain energy in terms of the L₂ integral norm of the surface tractions with the constant involved depending only upon and the material constants.The result is obtained in the context of finite elasticity under the assumptions that the unstressed body occupies a convex domain and the displacement gradients are sufficiently small. In the context of the linear theory, the same result is obtained without these assumptions.

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Zusammenfassung Wir betrachten ein Randwertproblem in der nichtlinearen Elastizität in dem nur ein zusammenhängendes Teilgebiet der Randfläche belastet ist, sonst aber keine Randbelastung oder Körperkräfte vorhanden sind. Eine Schranke für die Verzerrungsenergie wird mittels der L₂ Integralnorme der Randbelastung hergeleitet, wobei die auftretende Konstante nur von dem Teilgebiet und von den Eigenschaften des Materials abhängig ist.Das Ergebnis gilt für die nichtlinearen Elastizität, unter den Vorraussetzungen dass das unbelastete Material ein konvexes Gebiet besetzt und dass die Verschiebungsgradiente hinreichend klein sind. Das gleiche Ergebnis gilt in der linearen Elastizität ohne diese Vorraussetzungen.

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The second author was a visitor at Georgia Institute of Technology, School of Mathematics, at the time that the revised version was prepared.