希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問題的歷史發展中的地位

當我們研究幾何學的時候,最初如在中等學校所講授的一樣,在我們的認識中發生了獨創的思維世界,它很奇異地是現實的而同時又是幻想的。事實上,我們對直線、平面、幾何的體(例如,球)等等,給它們配上完全確定的性質來進行討論。但是,在什麼地方和在怎樣意義下,存在這樣方式的東西,使它們成為我們研究的對象呢?倒不是我們都知道,儘管我們來磨譬如說一塊金屬板的表面,由於在器具上和在動作本身上的不可避免的誤差,我們决不可能把它磨成“理想的平面”的形狀。不僅如此,非但不能達到理想地平的形狀,而且根據物質的原子構造,甚至要無限接近它都是不可能的,實際上,當我們要擴大所要求的精確度的時候,那末金屬板是在各別的原子上配列起來的,於是一般地談論它的表面,是沒有意義的。