Structure of maximal commutative subalgebras of the first Weyl Algebra

A short proof is given to Dixmier's sixth problem from 9] for the first Weyl algebra which askswhether a polynomial of a generic element of the first Weyl algebra is a generic element. Anaffirmative answer to this question was given by A. Joseph 14]. In the paper we give an answer to a similar question but for an arbitrary element of the first Weyl algebra. This result is used then to clarify structure of maximal commutative subalgebras in the first Weyl algebraA ₁: for a given maximal commutative subalgebra C of the Weyl algebra A₁ (almost) all non-scalar elements of it have the sametype, more precisely, have one of the following types: (i) strongly nilpotent, (ii) weakly nilpotent, (iii) generic, (iv) generic except for a subset, K ^*a+K of elements of strongly semi-simple type where a∈C is an element of strongly semi-simple type and K^*=K/{0}, (v) generic except for a subset, K^*a+K of elements of weakly semi-simple type where a∈C is an element of weakly semi-simple type.

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Sunto Si fornisce una dimostrazione breve al sesto problema di Dixmier enunciato in 9] per la prima algebra di Weyl che chiedese un polinomio di un elemento generico della prima algebra di Weyl è un elemento generico. Una rispostaaffermativa a questo problema à stata data da A. Joseph in 14]. In questo articolo formiamo una risposta ad un quesito simile ma per un elemento arbitrario della prima algebra di Weyl. Questo risultato è usato quindi per chiarire la struttura delle sottoalgebre commutative massimali della prima algebra di WeylA ₁: per una data sottoalgebra commutativa massimale C dell'algebra di Weyl A₁ (quasi) tutti i suoi elementi non scalari hanno lo stessotipo; più precisamente, hanno uno dei seguenti tipi: (i) fortemente nilpotente, (ii) debolmente nilpotente, (iii) generico, (iv) generico eccetto che per un sottoinsieme K ^*a+K di elementi di tipo fortemente semisemplice, dove a∈C è un elemento di tipo debolmente semisemplice.