一个不等式的简证

文［１］给出了关联四面体和空间任意一点的不等式,但证明用了六个引理,太复杂．今用向量给予简捷证明．定理　四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４中,Ａｉ对面的面积为Δｉ（ｉ＝１,２,３,４）,Ｐ为空间任意一点,则４ｉ＝１ＰＡ２ｉ≥３２（Δ１＋Δ２＋Δ３＋Δ４）．等号当且仅当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体且Ｐ是它的重心时成立．证　设Ｏ为四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４的重心,则４ｉ＝１ＯＡｉ＝Ｏ．∴　４ｉ＝１ＰＡ２ｉ＝４ｉ＝１（ＯＡｉ－ＯＰ）２＝４ｉ＝１ＯＡ２ｉ＋４ＯＰ２－２ＯＰ　·４ｉ＝１ＯＡｉ＝４ｉ＝１ＯＡ２…