数学教学中的实驗、直觉与邏輯

§ 1 在黑板上画一个半径为15cm的圆,过离圆心10cm的一点作一条直綫。显然,这条直綫交圓于两个点。这一知識是由实驗方法得到的。 設想在平面上画一个半径为15,000,000公里的圆,过离圓心10,000,000公里的一点作一条直綫。当然,你們会說,这条直綫也是与圆相交于两个点。你們并沒有看見这个圆,这条直綫也沒有真正作出来,你們这个信念的根据是什么呢?不可能实际地証实这样的直綫与圆相交。即使要証明这个定理也并非易事,而在中学阶段是不可能証明的。你們这个信念是一定的經驗与直觉所给与的。中学数学課不是、也不可能是具有严密邏輯系统的課程。許多数学事实是由实驗方法得到的,而只有一部分才經过了邏輯证明。为了改进数学教学,必須正确地理解在学生获得知識的过程中,实驗、直觉与邏輯的相互关系的意义。