Strong approximation ofGSBV functions by piecewise smooth functions

Let Ω be an open and bounded subset ofR ⁿ with locally Lipschitz boundary. We prove that the functionsv∈SBV(Ω,R ^m ) whose jump setS _vis essentially closed and polyhedral and which are of classW ^{k, ∞} (S _v,R ^m) for every integerk are strongly dense inGSBV ^p(Ω,R ^m ), in the sense that every functionu inGSBV ^p(Ω,R ^m ) is approximated inL ^p(Ω,R ^m ) by a sequence of functions {v _k{_j∈N with the described regularity such that the approximate gradients ∇v _jconverge inL ^p(Ω,R ^nm ) to the approximate gradient ∇u and the (n−1)-dimensional measure of the jump setsS _{v j} converges to the (n−1)-dimensional measure ofS _u. The structure ofS _v can be further improved in casep≤2.

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Sunto Sia Ω un aperto limitato diR ⁿ con frontiera localmente Lipschitziana. In questo lavoro si dimostra che le funzioniv∈SBV(Ω,R ^m ) con insieme di saltoS _v essenzialmente chiuso e poliedrale che sono di classeW ^{k, ∞} (S _v,R ^m ) per ogni interok sono fortemente dense inGSBV ^p(Ω,R ^m ), nel senso che ogni funzioneu∈GSBV ^p(Ω,R ^m ) è approssimata inL ^p(Ω,R ^m ) da una successione di funzioni {v _j}_j∈N con la regolaritá descritta tali che i gradienti approssimati ∇v _jconvergono inL ^p(Ω,R ^nm ) al gradiente approssimato ∇u e la misura (n−1)-dimensionale degli insiemi di saltoS _{v j}converge alla misura (n−1)-dimensionale diS _u. La struttura diS _vpuó essere migliorata nel caso in cuip≤2.