三边成等差数列的三角形的一个性质及应用 |
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引用本文: | 周建成.三边成等差数列的三角形的一个性质及应用[J].中学数学,1985(8). |
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作者姓名: | 周建成 |
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作者单位: | 哈尔滨122中 |
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摘 要: | 三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin(A+C)/2]cos(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos(A-C)/2](?)2Cos(A+C)/2]=cos(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。
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