圆内接四边形的一个美妙性质

设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.如图1.图1图2证明如下:如图2,首先证明B,E,F,C四点共圆.连结BE、FC、BF、EC,则∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(21∠ABC+21∠ACB)=180°-21(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠BAC)=90°+12∠BAC,同理可证∠BFC=90°+21∠CDB,图3因为A,B,C,D四点共圆,所以∠BAC=∠CDB,从而∠BEC=∠BFC,即B,E,F,C四点共圆.其次证明∠HEF=90°.如图3,因为B,E,F,C共圆,所以∠FEC=∠FBC,同理可证,A,H,E,B四点共圆,从而也有∠HEA=∠HBA,则∠HEF=∠AEC-(∠FEC+∠HEA)=∠AEC-(∠FBC+∠HBA)=180°-(∠EAC+ECA)]-(∠FBC+∠HBA)=180°-(21∠BAC+21∠BCA)-(21∠DBC+21∠DBA)=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠DBC+∠DBA)=180°-12(∠BAC+...