一道经典几何题的证明和推广

<正>1问题呈现如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于点E,交BC于点D.求证:∠AMB=∠CMD.本题是梁绍鸿先生的名著《初等数学复习及研究(平面几何)》中,关于相等的证题术的第1个例题,梁先生在思索方法中指出:就图形来看,∠AMB与∠CMD所属的各对三角形(如△AMB与既不全等,也不相似,故应设法就原有图形添加辅助线构造全等三角形(或相似三角形).