一个组合恒等式的两种证法

在前不久 ,作业中出现了这样一道题 :证明 :(C0 n) 2 +(C1 n) 2 +(C2 n) 2 +… +(Cnn) 2 =Cn2n.我想了半天终于想出了常用的一种证法 ,如下 :设一袋中有n个白球 ,n个黑球 ,每次摸出n个 ,其中包含 0个白球 ,n个黑球 ,1个白球 (n - 1)个黑球 ,… ,直至n个白球与 0个黑球 ,它们恰好组成一个必然事件 ,故这个事件发生的概率总和为 1,即得到C0 n·CnnCn2n+C1 n·Cn -1 nCn2n+… +Cnn·C0 nCn2n=1.两边同乘以C1 2n,即得所证。经过几天的思考 ,我又想出了另一种比较新颖的证法 ,如下 :∵　 ( 1+x) n=C0 n+C1 nx +… +Cnnxn,　　 ( 1+1x) n=…