也谈方阵的平方根

文1]讨论了二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根问题，但其结论有误．这里指出其错误并给出正确的定理．定义1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使B2=A，则称方阵B为方阵A的平方根．若有Bm=A，则称B为A的m次方根．文1]给出如下定理：上（下）三角方阵存在上（下）三角方阵的平方根．对上述定理，文1]没有给出一般证明，仅以三阶上三角方阵为例来证．但可惜的是，即使这样一个特殊情况的证明仍有漏洞，结论并不成立．例如不存在上三角方阵的平方根．事实上，对任意上三角方阵可以验证，均不存在上三角平方根．我们有如下定理：…