对一类函数不等式的讨论 |
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引用本文: | 马峰,张蓉,许庆祥.对一类函数不等式的讨论[J].上海中学数学,2004(6):45-46. |
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作者姓名: | 马峰 张蓉 许庆祥 |
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作者单位: | 上海师范大学数理信息学院
200234(马峰,张蓉),上海师范大学数理信息学院 200234(许庆祥) |
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摘 要: | 一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 - 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…
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关 键 词: | 函数不等式 竞赛题 高中 数学 证明方法 |
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