Über die Anwendung algebraischer Methoden in der Deformationstheorie komplexer Räume

Es handelt sich um einen Beweis der folgenden Sätze, die zuerst von Grauert angegeben wurden (Publ. Math. I.H.E.S. No. 5, 1960; vgl. dies Zbl.100, 80 (1963)):Es seif:X Y eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume, sei einef-platte kohärente analytische Garbe überX; es bezeichneX _y die Faser vonf über einem Punkty Y und die analytische Einschränkung von aufX _y . Dann gilt: (I) Die Funktionend _q (y)=dimH _q (X _y , sind halbstetig nach oben. (II) Ist für einq die Funktiond _q (y) konstant undY reduziert, so ist dieq-te direkte Bildgarbe von unterf lokal frei überY. (III) Die Euler-Poincaré-Charakteristikx(y)=(–1) ^q dimH _q (X _y ,) ist lokal konstant überY. — Der Beweis benutzt systematisch den Begriff des Steinschen Kompaktums (= kompakte semianalytische Menge mit Steinscher Umgebungsbasis). Mit Hilfe der von Frisch bewiesenen Tatsache, daß die Algebra der Schnitte in der Strukturgarbe eines komplexen Raumes über einem Steinschen Kompaktum noethersch ist (Invent. Math.4, 118–138 (1967); vgl. dies Zbl.167, 68 (1969)), gelingt es, die Grothendieckschen Methoden im algebraischen Fall (EGA III) auf die analytische Situation zu übertragen.