über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen

Zusammenfassung In den letzten Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die sich systematisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf topologischen Gruppen, Halbgruppen, topologischen RÄumen und topologischen linearen RÄumen beschÄftigten. Als besonders geeignet für eine topologische Wahrscheinlichkeitstheorie erwiesen sich hierbei die sogenannten straffen (tight) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. Le Cam 3], Hildenbrand 11], Prochoeov 20], Varadarajan 25]).Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit straffen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum D, dem topologischen Dualraum des Raumes D der auf der reellen Zahlengeraden definierten beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem TrÄger Tr .Der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Zufallselementen mit Werten in linearen RÄumen, die nicht notwendig BanachrÄume sind, war wohl der von GELFAND 8] eingeführte Begriff des verallgemeinerten stochastischen Prozesses (VSP). Solange man bei einem solchen Proze\ Eigenschaften untersucht, die sich mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, beschreiben lassen, wird man sich wie im Fall eines gewöhnlichen stochastischen Prozesses natürlich die Frage stellen, ob ein geeigneter Standard-stichprobenraum existiert, etwa der Raum D, so da\ sich jeder VSP auffassen lÄ\t als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem geeigneten hinreichend umfangreichen -Ring von Teilmengen des Raumes D. Die fundamentale Arbeit von MINLOS 18] gab hierzu die Lösung: Durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit gewissen Eigenschaften, die denen der Randverteilungen eines VSP entsprechen, lÄ\t sich auf dem SystemB der Zylindermengen des Raumes D eine sogenannte schwache Verteilung definieren, von der gezeigt wird, da\ sie -additiv ist. Durch EinschrÄnkung des Raumes der sogenannten Testfunktionen auf den metrisierbaren Teilraum D _K{ D:Tr K, K kompakt in } von D lÄ\t sich dieses Ergebnis wie folgt verschÄrfen: Die durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit entsprechenden Eigenschaften, auf dem System B _K der Zylindermengen des Raumes D_K definierte schwache Verteilung K ist straff bezüglich der schwachen Topologie (D_K, D_K) in D_K.Die Frage nach der Gültigkeit einer entsprechenden VerschÄrfung für das Dualsystem >DD<, bzw. allgemeiner für ein Dualsystem E, F mit nicht notwendig metrisierbarem F, bildete den Gegenstand neuerer Untersuchungen, über deren Ergebnisse auf dem letzten Berkeley Symposium E. Mourier berichtete (vgl. 19]).Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit des Verfassers wird demgegenüber eine Methode aufgezeigt, mit deren Hilfe, unter Verwendung des Minlosschen Satzes in seiner ursprünglichen Form, auf direktem Wege für das Dualsystem >D, D< der Nachweis gelingt, da\ eine schwache Verteilung auf B nicht nur -additiv, sondern automatisch straff ist (bzgl. der schwachen Topologie (D, D) in D) und sich somit eindeutig fortsetzen lÄ\t zu einer straffen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem System 83 der Boreischen Mengen in D, welches den von den Zylindermengen erzeugten -Ring (B) umfa\t. Mit anderen Worten wird damit gezeigt, da\ man jeden VSP auffassen kann als straffe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Boreischen Mengen in D. Wir sprechen dann auch von einer zufÄlligen Distribution.Im zweiten Kapitel betrachten wir spezielle zufÄllige Distributionen, nÄmlich Normal-verteilungen v, die aus Randverteilungen hervorgehen, welche n-dimensionale Normal-verteilungen sind, und beschÄftigen uns mit dem Problem der Äquivalenz und SingularitÄtzweier Normalverteilungen v₁ und v₂ in D. Für den Fall v₁ = v, v₂= v_{f 0}, wo v_{f 0}(Z) =v(Z – f₀), ZB fD, zeigte DUDLEY 6], da\ entweder Äquivalenz oder SingularitÄt vorliegt, wobei er ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für den Fall der Äquivalenz angibt. Aus der Theorie der gewöhnlichen stochastischen Prozesse ist nun bekannt, da\ die beiden Wahrschein-lichkeitsma\e, die zwei beliebigen Gau\schen Prozessen auf dem Raum ihrer Realisierungen entsprechen, entweder Äquivalent oder singular sind. Es lag deshalb nahe, nach einem Kriterium zu suchen, welches es einerseits gestattet, im Fall zweier beliebiger Normalverteilungen v₁ und v₂ in D zu entscheiden, wann Äquivalenz vorliegt, und welches andererseits die naheliegende Vermutung bestÄtigt, da\ für zwei Normalverteilungen in D dieselbe Alternative wie im eben zitierten klassischen Fall vorliegt. Dieses Problem wird gelöst, indem wir zeigen, da\ sich ein von Kallianfur-Oodaira 13] aufgestelltes Kriterium für die Äquivalenz zweier Normalverteilungen auf den Boreischen Mengen eines separablen Hilbertraumes auf den Distributionsraum D übertragen lÄ\t.Im dritten Kapitel beschÄftigen wir uns mit der Frage der Äquivalenz zweier beliebiger (nicht notwendig normaler) Wahrscheinlichkeitsverteilungen in D.Abschlie\end möchte der Autor Herrn Professor Dr. K. Krickeberg (Heidelberg) für die Anregung zu dieser Arbeit sowie für die Unterstützung wÄhrend ihrer Durchführung herzlich danken.