Approximate solution of the transient free convection laminar boundary layer equations

Zusammenfassung Es wird eine angenäherte Lösung der Gleichungen der laminaren Grenzschicht in freier Konvektionsströmung an einer halbunendlichen senkrechten Platte angegeben. Obwohl bereits Ähnlichkeitsvariablen für die transiente Strömung dieses Typus angegeben wurden, ist bis heute kein numerisches Ergebnis bekannt. Daher wird im vorliegenden Aufsatz das System der nichtlinearen, gekoppelten partiellen Differentialgleichungen durch Approximation gelöst. Durch ein Integrationsverfahren kann das System der Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Variablen (zwei Ortskoordinaten und Zeit) auf ein solches mit zwei unabhängigen Variablen zurückgeführt werden. Das so verbleibende Gleichungssystem wird auf zwei verschiedene Arten behandelt. Die eine wird als eine Methode der Integralrelationen bezeichnet, die andere als Linienmethode (ein Verfahren der Differenzenrechnung). Nach beiden Methoden werden für verschiedene Prandtl-Zahlen Geschwindigkeits- und Temperaturprofile berechnet und mit experimentellen Ergebnissen verglichen.

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Nomenclature a constant - a_i approximating function, see equation (24) - b constant - b_i approximating function, see equation (24) - d_i approximating functions, see equation (33) - e_i approximating functions, see equation (34) - f_i weighting functions - g_i weighting functions - g acceleration due to gravity - G Grashof number - h heat transfer coefficient - k thermal conductivity - L characteristic length - L(u) differential operator onu - Nu Nusselt number - P Prandtl number - q heat flux - t time - T temperature - T ambient temperature - u₁ dimensionless characteristic velocity,Gr^–1/2(U₁L/) - U velocity in theX direction - U₁ dimensional characteristic velocity,U₁=U/f(Y/GD) - V velocity in theY direction - W_k weighting functions, see equation (5) - X distance along plate - x dimensionless distance along plate,X/L - x increment onx for method of lines - Y distance from plate - y dimensionless distance from plate,Y/L - thermal diffusivity - coefficient of thermal expansion - dimensional boundary layer thickness - dimensionless boundary layer thickness, /L - a function of - dimensionless length,Y/ - temperature excess, (T-T) - _w wall temperature difference, (T_w–T) - _k approximating functions, see equation (4) - kinematic viscosity - dimensionless time,Gr^–1/2(_t/L²) - approximating functions, see equation (4)Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.