有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1