1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０，１］时，不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立，试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题，下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０，１］，恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０，则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０，ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０，∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…