Variational formulations, integral approaches and series expansion techniques for linear water waves

Summary Some general criteria are given for the classification of several numerical and semi-analytical approaches used to solve problems concerning the propagation of linear surface water waves over a bottom of variable depth and in the presence of natural or artificial obstacles. The various approaches have been subdivided in two fundamental categories, namely the direct approaches, for which the main unknown variable is the potential field or the surface wave displacement, and the indirect approaches, in which first a solution of the problem in terms of the normal velocity along the lines of a certain network drawn in the considered domain has to be found. Standard procedures have been detected in order to establish variational principles for problems in which different representations of the unknown fields are employed in the various parts of the whole domain. The different kinds of numerical difficulties that can be encountered have been studied and the links among several levels of investigation stressed. A comparison has been carried out among the various methods, regarding the possible onset of numerical instabilities and the accuracy of the results. In particular, it has been shown that the indirect methods are able to represent a wavelength by much less parameters than the direct ones.

---

Riassunto Si espongono alcuni criteri per la classificazione di diversi approcci numerici e semianalitici usati per risolvere problemi riguardanti la propagazione di onde marine superficiali su un fondo variabile e in presenza di ostacoli naturali o artificiali. I vari approcci sono stati suddivisi in, due categorie fondamentali, e cioè gli approcci diretti, per cui l'incognita principale è il potenziale di velocità o il livello della superficie libera, e gli approcci indiretti, nei quali prima bisogna individuare una soluzione del problema in termini di velocità normale lungo le linee di una certa maglia tracciata sul dominio preso in considerazione. Sono state individuate procedure standard per stabilire princípi variazionali per problemi in cui s'impiegano differenti rappresentazioni del campo incognito nelle varie parti del dominio complessivo. Sono stati inoltre studiati i vari tipi di difficoltà numeriche che si possono incontrare e si sono posti in evidenza i legami esistenti fra i diversi livelli d'indagine teorica possibili. Si è infine eseguito un paragone fra i vari metodi con riferimento sia al possibile instaurarsi d'instabilità numeriche, che all'accuratezza dei risultati ottenuti. In particolare si è constatato che i metodi indiretti sono capaci di rappresentare una lunghezza d'onda con un numero molto inferiore di parametri rispetto ai metodi diretti.

---

Резюме Приводятся некоторые общие критерии для классиФикации численных и полуаналитических подходов, используемых для решения проблемы распространения линейных поверхностных водяных волн в водоеме с изменяемой глувиной и в присутствии естественных или искусственных препятствий. Различные подходы делястя на две основные категории: прямые подходы, для которых главная неизвестная переменная представляет поле потендиала или смещение поверхностной волны, и нерямые подходы, в которых сначаладолжно быть найдено решение проблемы в терминах нормальной скорости вдоль линий некоторой сетки в рассматриваемой области. Формулируются стандартные методы для установления вариационных принципов для проблем, в которых используются различные представления нензвестных полей вразличных частях. ИсследуУтся различные вычислительные трудности и отмечаются связи между различными уровиями анализа. Проводится сравнение с другими методами, рассматривая возможное возникновение численных неустойчивостей и точность полученных результатов. В частности, показывается, что непрямые методы позволяют получить длину волны, используя много меньшее число параметров, чем в прямых методах.