The Helmholtz decomposition of weightedLq-spaces for Muckenhoupt weights |
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Authors: | Andreas Fr?hlich |
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Institution: | (1) Present address: Technische Universit?t Darmstadt, Schlossgartenstra?e 7, 64289 Darmstadt, Germany |
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Abstract: | We consider weights of Muckenhoupt classA
q, 1<q<∞. For a bounded Lipschitz domain Ω⊂ℝn we prove a compact embedding and a Poincaré inequality in weighted Sobolev spaces. These technical tools allow us to solve
the weak Neumann problem for the Laplace equation in weighted spaces on ℝn, ℝn
+, on bounded and on exterior domains Ω with boundary of classC
1, which will yield the Helmholtz decomposition ofL
ω
q(Ω)n for general ω∈A
q. This is done by transferring the method of Simader and Sohr 4] to the weighted case. Our result generalizes a result of
Farwig and Sohr 2] where the Helmholtz decomposition ofL
ω
p(Ω)n is proved for an exterior domain and weights of Muckenhoupt class without singularities or degeneracies in a neighbourhood
of ϖΩ.
Sunto In questo lavoro consideriamo dei pesi della classe di MuckenhouptA
q, 1<q<∞. Per un dominio limitato lipschitziano Ω⊂ℝn, dimostriamo una immersione compatta ed una disuguaglianza di Poincaré in spazi di Sobolev con peso. Questa tecnica ci consente
di risolvere il problema debole di Neumann per l’equazione di Laplace in spazi pesati in ℝn, ℝn
+ in domini limitati ed in domini esterni con frontiera di classeC
1, che conduce alla decomposizione di Helmholtz diL
ω
q(Ω)n per un qualsiasi ω∈A
q. Il risultato è ottenuto trasferendo il metodo di Simader e Sohr 4] al caso pesato. Quello qui presente estende un risultato
di Farwig e Sohr 2] dove la decomposizione di Helmholtz diL
ω
q(Ω)n è dimostrata per domini esterni e pesi della classe di Muckenhoupt privi di singolarità in un intorno di ϖΩ.
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