连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 a,a+l]上的l凹函数,也是a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈a+l,a…