Linear series onk-gonal curves

Here we prove the following result. Theorem 1.1.Let X be an integral projective curve of arithmetic genus g and k≧ ≧4 an integer. Assume the existence of L ∈ Pic^k (X) with h ⁰ (X, L)=2 and L spanned. Fix a rank 1 torsion free sheaf M on X with h ⁰(X,M)=r+1≧2, h¹ (X, M)≧2 and M spanned by its global sections. Set d≔deg(M) and s≔max {n≧0:h ⁰ (X, M ⊗(L^*)^⊗n)>0}. Then one of the following cases occur:

(a)	M≊L ⊗r;
(b)	M is the subsheaf of ω X⊗(L*)⊗t, t:=g−d+r−1, spanned by H0(X, ωX⊗(L*)⊗t);
(c)	there is a rank 1 torsion free sheaf F on X with 1≦h 0(X, F)≦k−2 such that M≊L⊗s⊗F. Moreover, if we fix an integer m with 2≦m≦k−2 and assume r#(s+1)k−(ns+n+1) per every 2≦n≦m, we have h0 (X, F)≦k−m−1.

We find also other upper bounds onh ⁰ (X, F).

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Sunto  In questo lavoro si dimostra il seguente teorema. Teorem 1.1.Sia X una curva proiettiva ridotta e irriducibile di genere aritmetico g e k≥4 un intero. Si supponga l'esistenza di L ε Pic^k (X) con h ⁰ (X, L)=2 e L generato. Si fissi un fascio senza torsione di rango uno M su X con h⁰ (X, M)=r++1≥2, h¹ (X, M) ≧2 e M generato dalle sue sezioni globali. Si ponga d≔deg(M) e s≔max{n≧0:h ⁰(X, M ⊗(L^*)^⊗n)>0}. Allora si verifica uno dei casi seguenti:

(a)	M≊L ⊗r;
(b)	M è il sottofascio di ω X⊗(L*)⊗t, t:=g−d+r−1 generato da H0 (X, ωX⊗(L*)⊗t);
(c)	esiste un fascio senza torsione di rango un F su X con 1≦h 0 (X, F) <=k−2 tale che M ≊L ⊗8 ⊗ F. Inoltre, se si fissa un intero m con 2≦m≦k−2 e si suppone r#(s+1) k−(ns+n+1) per ogni 2≦n≦m, si ottiene h 0 (X, F)≦k−m−1.

Si ricavano anche altre maggiorazioni suh ⁰,(X, F).