The imaginary zeros of a mixed Bessel function

In the present work we study the existence and monotonicity properties of the imaginary zeros of the mixed Bessel functionM _v(z)=(z²+)J_v(z)+zJ_v(z). Such a function includes as particular cases the functionsJ _v(z)(==0), J_v(z)(=–v²,=1)x andH _v(z)=J_v(z)+zJ_v(z), whereJ _v(z) is the Bessel function of the first kind and of orderv>–1 andJ _v(z), J_v(z) are the first two derivatives ofJ _v(z). Upper and lower bounds found for the imaginary zeros of the functionsJ _v(z), J_v(z) andH _v(z) improve previously known bounds.

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Zusammenfassung Dieser Artikel betrifft die Existenz und Monotonie von Eigenschaften imaginärer Nullen der gemischten BesselfunktionM _v(z)=(z²+)J_v(z)+zJ_v(z). Eine solche Funktion enthält als Spezialfall die FunktionenJ _v(z)(==0), J_v(z)(=–v²,=1) undH _v(z)=J_v(z)+zJ_v(z), woJ _v(z)die Besselfunktion von erster Art und Ordnungv>–1 andJ _v(z), J_v(z) sind die erste und zweite Ableitung vonJ _v(z). Untere und obere Schranken, die für die imaginären Nullen der FunktionenJ _v(z), J_v(z) undH _v(z) gefunden wurden, verbessern früher bekannte Resultate.