向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…