运用质量意义来计算积分

在学习高等数学的过程中 ,我们通常是运用微积分的有关知识及方法去解决几何学、物理学中的问题 ;反之 ,运用物理学的质量意义 ,也可以来计算积分 ,并使某些特殊的积分计算更为简便。一、计算二重积分的值例 1　计算二重积分 I = D( x +y) dxdy,其中 D ={ ( x,y) |x2 +y2 ≤ x +y +1 } ( 1 994年研究生入学试题 )。解法 1　先给出常规解法。区域 D可化为 :( x -12 ) 2 +( y -12 ) 2 ≤ 32用变换 x =12 +rcosθ,y =12 +rsinθ,在这变换下 ,D的边界化为 r2 =32 ,D域化为 0≤ r≤32 ,0≤θ≤ 2π,雅可比行列式为J= ( x,y) ( r,θ) = x r x …