Numerisch einfache Beziehungen zwischen Verlust- und Speicherkomponente des dynamischen Schermoduls und der dynamischen Nachgiebigkeit

Zusammenfassung Es werden Formeln hergeleitet, die analog den Kramers-Kronig-Beziehungen Verlust- und Speicherkomponente des komplexen dynamischen Schermoduls bzw. der komplexen dynamischen Nachgiebigkeit miteinander in Verbindung bringen, die aber den Vorteil haben, daß kein Integral mehr auftritt und daß sich der Einfluß der jeweiligen Kurvenausläufer für 0 und in Form einer einfach gebauten Summe aus Stützstellenwerten darstellen läßt, wobei als Stützstellen die Punkte 2^j ₀ mitj= ±1, ±2, benützt werden.Die Formeln enthalten zusätzlich die logarithmische Ableitung einer der jeweiligen Meßgrößen an der Stelle₀. Es ist jedoch möglich, Näherungsformeln aufzustellen, welche die Ableitung nicht mehr enthalten. Der relative Fehler, der dabei in Kauf zu nehmen ist, beträgt weniger als 0,5%.Durch Linearkombination der Gleichungen für entsprechende Stützstellen kann der Anteil der unendlichen Summen eliminiert werden, so daß man Beziehungen erhält, welche zur Kontrolle einer Messung beider Komponenten des Moduls beziehungsweise der Nachgiebigkeit dienen können. Um den Preis einer geringeren Genauigkeit, wobei die maximale Abweichung relativ zur Verlustkomponente angegeben wird, können solche Kontrollbeziehungen schon für wenige, mindestens aber drei Stützstellen aufgestellt werden.Darüber hinaus sind aufgrund der Formeln einseitige Schranken für die GrenzwerteG, usw. aus den Meßwerten berechenbar. Die Schranken sind um so schärfer, je größer der gemessene Bereich ist. Bis zu einem gewissen Grade kann auch der Verlauf der Funktionen über die Grenzen des Meßbereichs hinaus abgeschätzt werden.

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Summary Formulae are derived, which relate the loss modulus to the storage modulus and the loss compliance to the storage compliance as the Kramers-Kronig equations do. The advantage of the formulae given is, that they involve simple sums of functional values instead of integrals. Additionally the logarithmic derivative of for example the storage modulus at₀ must be known to calculate loss modulus at₀. But there are also given approximation formulae, which do not involve any derivative. The relative error of all approximations is smaller than 0.5%.By combining the equations at different values of the influence of unaccessible parts of one of the components can be eliminated. In this way relations are obtained, which are very useful for checking measurements. The error of each of these approximate relations can be given relative to the loss component. As a further application, formulae are discussed, which allow the calculation of an upper limit forG and a lower limit for the viscosity, when both components of dynamic modulus or of compliance are measured. The lower or upper limits are the sharper the greater the-range where measurements are available.

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Mit 5 Abbildungen und 6 Tabellen