Die elastoplastische Berechnung von allgemeinen Tragwerken und Kontinua

Übersicht Die in [5, 6] entwickelte Erweiterung der Matrizenverschiebungsmethode auf nichtlineare elastoplastische Probleme wird in diesem Bericht vertieft und auf spezielle Probleme angewendet. Die Theorie, welche auf einer schrittweisen Linearisierung des Belastungs- bzw. Deformationszustandes beruht, läßt im Prinzip jedes Fließgesetz zu, wird aber hier im Einzelnen für das von Misessche Fließgesetz und die Prandtl-Reussschen Gleichungen inkrementaler Dehnungsbeziehungen aufgebaut. Die plastischen Dehnungen werden im Sinne von [1] als gegebene Anfangsdehnungen betrachtet, so daß die inkrementalen Deformationen aus einer rein elastischen Berechnung ermittelt werden können; dabei verbleibt die Steifigkeitsmatrix bei unveränderlicher Temperatur und kleinen Deformationen konstant. Die Methode ist sowohl auf ein-, zwei- bzw. dreidimensionale Systeme anwendbar und ist am Beispiel eines ebenen, dreieckigen Membranelements mit vorgeschriebener linearer Dehnungsverteilung erläutert. Da die plastischen Dehnungen tatsächlich zunächst unbekannt sind, werden drei Verfahren, sie zu bestimmen, beschrieben und auf ihren Anwendungsbereich untersucht. Die theoretisch begründeten Eigenschaften dieser Methoden werden durch einen Vergleich der Resultate für ein einfach statisch unbestimmtes Tragwerk praktisch bestätigt. Es zeigt sich, daß das dritte — sogenannte VIM-Verfahren [10] — immer konvergiert und in allen Fällen weitgehender, plastischer Deformation überlegen ist. Abschließend wird unter strenger Einhaltung des gegebenen Materialgesetzes eine rechteckige Scheibe mit zentralem Riß, bei dem plastische Deformationen offensichtlich maßgebend sind, untersucht.

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Summary The extension of the Matrix Displacement Method to non-linear elasto-plastic problems developed in [5, 6] is amplified considerably and applied to special problems. The theory, based on a stepwise linearization of the loading or deformation history, allows for any yield criterion. However, to crystallize the argument it is presumed here that the von Mises criterion and the associated Prandtl-Reuss incremental strain relations apply. If the plastic strains are at first considered as known, the incremental deformations may be determined, as proposed in [1], from a purely elastic analysis in conjunction with the concept of initial loads; the stiffness matrix of the system remains thereby constant, as long as the temperature distribution does not vary and the deformations and strains are small. The method is applicable to arbitrary two- or three-dimensional structures or continua and is exemplified on a triangular element with an assumed linear distribution of strain. Since the plastic strains are, in fact, initially unknown, special procedures for their determination have to be evolved [5, 6, 10]. The paper evaluates three increasingly more sophisticated approaches and indicates some theoretical criteria on their applicability which are substantiated by the numerical analysis of a singly redundant pinjointed framework. It is shown that the third — so called VIM-procedure — always converges and proves superior in all cases of extensive plastic deformations [10]. A second more ambitious example examines the spreading of the plastic zone in a plate with a central straight crack, a problem of considerable practical importance.

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Bericht des Instituts für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen der Universität Stuttgart (ISD), (Direktor: Professor Dr J. H. Argyris).