General solution of the two-dimensional heat equation for two concentric domains of different material

The general solution of the two-dimensional heat equation is given for two concentric domains consisting of different materials; it is represented as integrals over the given source and boundary distribution multiplied by a Green's function. The Green's function in this problem is given for any (linear) boundary condition of Sturm-Liouville type with constant coefficients. Examples are evaluated for source free problems with uniform initial temperature distribution and a boundary condition which corresponds to constant external temperature. Numeric evaluations show the development of the temperature distribution with time in compounds heated from outside and also for an isolated electric conductor which is cooled from outside after it has been heated by a short circuit.

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Allgemeine Lösung der zweidimensionalen Wärmeleitgleichung für zwei konzentrische Kreisbereiche verschiedener Materialien

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die allgemeine Lösung der zweidimensionalen Wärmeleitungsgleichung für zwei konzentrische Kreisbereiche mit unterschiedlichen Materialeigenschaften angegeben. Diese ist als quellenmäßige Darstellung gegeben, d.h. als Integral über die Wärmequellen im Inneren und am Rand und über die Anfangsverteilung, wobei alle mit der zugehörigen Greenschen Funktion multipliziert werden. Die angegebene Greensche Funktion gilt für alle beliebigen (linearen) Randbedingungen vom Sturm-Liouvilleschen Typ mit konstanten Koeffizienten. Es werden für quellenfreie Probleme mit homogener Anfangstemperatur und konstanter Außentemperatur Beispiele berechnet. Numerische Berechnungen zeigen die zeitliche Entwicklung der Temperaturverteilung für Zweischichtenanordnungen, welche von außen erwärmt werden, und für einen isolierten elektrischen Leiter, welcher nach einer Erhitzung durch Kurzschluß von außen gekühlt wird.

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Nomenclature a diffusion constant, m²/s - c specific heat for constant pressure, W_s/kgK - d₁ inner diameter, m - d₂ outer diameter, m - l length of the construction element, m - J_m, Y_m Bessel functions of m-th order - r, polar coordinates; m, rad - t time, s - T₀ initial temperature, K - T_e external temperature of the medium surrounding the compound, K - T(r, , t) temperature field - _n n-th eigenvalue of the characteristic equation - thermal conductivity, W/mK - (r, , t) heat source density, Ws/m⁵ - mass density, kg/m³