揭示和差代换的数学背景——兼谈如何消去二元二次方程中的xy项

利用代换 ｘ=ｕ -ｖｙ=ｕ ｖ解题 ,颇有独到之处 ,这种代换常称为和差代换 .它在解题中的独特作用 ,正受到人们的日益重视 .例　 (1 993年全国高中数学联赛 )实数ｘ,ｙ满足 4ｘ2 - 5ｘｙ 4ｙ2 =5 .设Ｓｍｉｎ=ｘ2 ｙ2 ,求 1Ｓｍｉｎ 1Ｓｍａｘ的值 .解　令 ｘ =ｕ-ｖｙ =ｕ ｖ,代入已知等式得 3ｕ2 1 3ｖ2 =5 .即ｖ2 =11 3(5 - 3ｕ2 ) (其中 0≤ｕ2 ≤ 53) .所以Ｓ=ｘ2 ｙ2 =2ｕ2 2ｖ2 =1 01 3(2ｕ2 1 ) .故1 01 3 ≤Ｓ ≤ 1 03 ,因此 1Ｓｍｉｎ 1Ｓｍａｘ=85 .这种解法着实巧妙 ,妙就妙在无须通过坐标轴旋转而是通过代换 ,消去了二…