带有三次方项的拟线性薛定谔方程具有给定节点个数的节点解问题

本文主要研究如下带有三次方项的拟线性薛定谔方程\begin{equation*}\label{eq1}\left\{\begin{aligned}&-\Delta u+V(|x|)u-\frac{1}{2}\Delta(|u|^2)u=\lambda|u|^2u,\quad\mbox{in }\mathbb{R}^N,\\ &u\to 0, \qquad as\ |x|\to\infty,\\ \end{aligned}\right.\end{equation*}其中$N\geq 3,\lambda>0$, $V(|x|)$ 表示正的径向对称位势函数. 利用能量比较方法和变分方法,并结合极限方法,可得上述方程存在任意给定$k$次径向节点解 $U_{k,4}^\lambda$,其中正整数$k\geq1$. 进一步, $U_{k,4}^\lambda$的能量关于$k$单调递增.同时任意给定序列$\{\lambda_n\}$,在子列意义下, 当$\lambda_n\to +\infty$时,$\lambda_n^{\frac{1}{2}}U_{k,4}^{\lambda_n}$收敛于$\bar{U}_{k,4}^0$,其中$\bar{U}_{k,4}^0$是如下经典薛定谔方程 $k$次径向节点解\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}&-\Delta u+V(|x|)u=|u|^2u\quad\mbox{in }\mathbb{R}^N,\\ &u\to 0 \qquad as\ |x|\to\infty.\end{aligned}\right.\end{equation*}本文研究结果将非线性项超三次方的情形推广到三次方的情形,拓展了已有文献中的结果.